Question

【题目】一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长、、都在的定义域内，就有、、也是某个三角形的三边长，则称为“双三角形函数”.

（1）判断，，中，哪些是“双三角形函数”，哪些不是，并说明理由；

（2）若是定义在上周期函数，值域为，求证：不是“双三角形函数”；

（3）已知函数，，求证：函数是“双三角形函数”.（可利用公式“”）

Answer 1

【答案】（1）、是“双三角形函数”，不是；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）任给三角形,设它的三边长分别为、、,则,不妨设,判断、、是否满足任意两数之和大于第三个数,即任意两边之和大于第三边；

（2）要想一个函数不是“双三角形函数”关键是根据题中条件是定义在上的周期函数,值域为,举出反例；

（3）分别讨论与两种情况下的关系,即可得证

（1）、是“双三角形函数”,不是；

任给三角形,设它的三边长分别为、、,则,不妨设,由于,所以、是“双三角形函数”.

对于,3,3,5可以作为一个三角形的三边长,但,所以不存在三角形以可作为一个三角形的三边长,故不是“双三角形函数”.

（2）证明：设为的一个周期,由于其值域为,所以,存在,使得,,取正整数,可知,,这三个数可作为一个三角形的三边长,但,,不能作为任何一个三角形的三边长,故不是“双三角形函数”.

（3）证明：对任意三角形的三边、、,若,

则①当时,此时,同理可得,，

所以,则,,同理可证其余两式.

所以可作为某个三角形的三边长.

②,此时,可得如下两种情况：

当时,由于,所以.

由在上的单调性可得；

当时,,同样,由在上的单调性可得

故,

又由及余弦函数在上单调递减,可得,

所以,

同理可证其余两式,所以可作为某个三角形的三边长.

综上,函数是“双三角形函数”.