Question

设函数．
（1）当p=2且m=5时，求函数f（x）在（1，+∞）的极值；
（1）若m=2且f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围．

Answer 1

解：
（1）当p=2且m=5时，，
∴当x∈（1，2）时，f'（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0
即f（x）在（1，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数
∴f（x）在x=2处取得极小值，
∴函数；
（2）∵m=2，∴ （x＞0）
令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在其定义域（0，+∞）内是单调函数，只需h（x）在（0，+∞）内满足：h（x）≥0或h（x）≤0恒成立．
①当p=0时，h（x）=-2x，
∵x＞0，∴h（x）＜0，∴＜0，
∴f（x）在（0，+∞）内是单调递减函数，
即p=0适合题意；
②当p＞0时，h（x）=px²-2x+p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=∈（0，+∞），
∴h（x）min=p-，
只需p-≥0，即p≥1时h（x）≥0，f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）内为单调递增函数，
故p≥1适合题意．
③当p＜0时，h（x）=px²-2x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=∉（0，+∞），
只要h（0）≤0，
即p≤0时，h（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
∴p＜0适合题意．
综上所述，p的取值范围为p≥1或p≤0．
分析：（1）先利用基本函数的导数公式计算函数f（x）的导函数f′（x），再解不等式f'（x）＜0和f'（x）＞0得函数的单调区间，最后由极值定义确定函数f（x）在（1，+∞）的极值
（2）先将f（x）在其定义域内为单调函数转化为恒成立问题，即导函数f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，最后求并集即可
点评：本题考查了极值的意义，导数在求函数极值问题中的应用，导数在函数单调性中的应用，不等式恒成立问题的解法