Question

如图，在三棱柱ADF-BCE中，侧棱AB⊥底面ADF，底面ADF是等腰直角三角形，且AD=DF=a，AB=2a，M、G分别是AB、DF的中点．
（1）求证GA∥平面FMC；
（2）求直线DM与平面ABEF所成角．

Answer 1

分析：（1）欲证GA∥平面FMC，可先证明面GSA∥面FMC，取DC中点S，连接AS、GS、GA，根据中位线定理可知GS∥FC，AS∥CM，满足面面平行的判定定理，而GA?面GSA，满足面面平行的性质，从而得到结论；
（2）在平面ADF上，过D作AF的垂线，垂足为H，连DM，则DH⊥平面ABEF，根据线面所成角的定义可知∠DMH是DM与平面ABEF所成的角．在RT△DHM中，求出此角即可．

解答：解：（1）证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA，
∵G是DF的中点，GS∥FC，AS∥CM
∴面GSA∥面FMC，而GA?面GSA，
∴GA∥平面FMC
（2）在平面ADF上，过D作AF的垂线，垂足为H，连DM，则DH⊥平面ABEF，
∠DMH是DM与平面ABEF所成的角．
在RT△DHM中，DH=

2

2

a，DM=

2

a
∴sin∠DMH=

DH

DM

=

1

2

，
∠DMH=

π

6

所以DM与平面ABEF所成的角为

π

6

．

点评：本题主要考查了直线与平面的所成角，以及直线与平面平行的判定，同时考查了空间想象能力、计算与推理能力，属于中档题．