Question

在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，-3)为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.

(1)求向量的坐标；

(2)求圆x²-6x+y²+2y=0关于直线OB对称的圆的方程；

(3)是否存在实数a,使抛物线y=ax²-1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，请说明理由；若存在，求a的取值范围.

Answer 1

解：(1)设=(u,v),则由

即得或

    因为=+=(u+4,v-3),

    所以v-3＞0,得v=8.故=(6，8).

(2)由=(10，5)，得B(10，5)，于是直线OB的方程为y=x.

    由条件可知圆的标准方程为(x-3)²+(y+1)²=10,

    得圆心(3，-1)，半径为.

    设圆心(3，-1)关于直线OB的对称点为(x,y),则由

    得

    故所求圆的方程为(x-1)²+(y-3)²=10.

(3)设P(x₁，y₁)、Q(x₂,y₂)为抛物线上关于直线OB对称的两点，

    则有

    解之得

    即x₁、x₂为方程x²+x+=0的两个相异实根，

    于是由Δ=-4·＞0,得a＞.

    故当a＞时，抛物线y=ax²-1上总有关于直线OB对称的两点.