Question

已知a＞

1

2

且a≠1．条件p：函数f（x）=log_（2a-1）x在其定义域上是减函数；条件q：函数g(x)=

x+|x-a|-2

的定义域为R．如果p∨q为真，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：根据对数函数的单调性求得命题p为真时a的取值范围；利用绝对值函数的最小值，分析求解命题q为真时a的范围，
根据复合命题真值表知如果p∨q为真，则命题p、q至少一个为真，故只需求并集可得答案．

解答：解：∵函数f（x）=log_（2a-1）x在其定义域上是减函数，
∴0＜2a-1＜1⇒

1

2

＜a＜1，
故命题p为真，则

1

2

＜a＜1，
∵函数g(x)=

x+|x-a|-2

的定义域为R，即x+|x-a|-2≥0对?x∈R恒成立，
则f（x）=

2x-a-2，   x≥a a-2，          x＜a

的最小值为a-2，
∴a-2≥0⇒a≥2；
故命题q为真，则a≥2，
由复合命题真值表知，如果p∨q为真，则命题p、q至少一个为真，
∴a的取值范围为（

1

2

，1）∪[2，+∞）．

点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查对数函数的单调性及绝对值函数的最值，解题的关键是求出组成复合命题的简单命题为真时的条件．