Question

已知数列{a_n}满足2^n-1a₁+2^n-2a₂+2^n-3a₃+…+a_n=n•2ⁿ，记所有可能的乘积a_ia_j（1≤i≤j≤n）的和为T_n．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求T_n的表达式；
（3）求证：+…+＜．

Answer 1

解：（1）∵数列{a_n}满足2^n-1a₁+2^n-2a₂+2^n-3a₃+…+a_n=n•2ⁿ，
∴，
当n=1时，a₁=2．
当n≥2时，，
，
两式相减，得，
∴．
（2）∵a_ia_j（1≤i≤j≤n）的和为T_n，
∴T_n=a₁a₁+（a₁a₂+a₂a₂）+（a₁a₃+a₂a₃+a₃a₃）+…+（a₁a_n+a₂a_n+a₃a_n+…+a_na_n）
=（2³-2²）+（2⁵-2³）+（2⁷-2⁴）+…+（2²ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹）
=-（2ⁿ⁺²-4）
=．
（3）∵
=
=，
∴＜=，
∵=
=
＞
=，
∴+…+＞（）+（）+…+（）
=
=＞，
∴+…+＜．
分析：（1）由数列{a_n}满足2^n-1a₁+2^n-2a₂+2^n-3a₃+…+a_n=n•2ⁿ，知，由迭代法能求出．
（2）由a_ia_j（1≤i≤j≤n）的和为T_n，知T_n=a₁a₁+（a₁a₂+a₂a₂）+（a₁a₃+a₂a₃+a₃a₃）+…+（a₁a_n+a₂a_n+a₃a_n+…+a_na_n）=（2³-2²）+（2⁵-2³）+…+（2²ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹），由此能求出T_n的表达式．
（3）由=，知＜=，由=＞=，知+…+＞（）+（）+…+（）=＞，由此能够证明+…+＜．
点评：本题考查数列通项公式的求法和不等式的证明，考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．