Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n}的前n项和为T_n，满足T_n＝2S_n－n²，n∈N^*.
(1)求a₁的值；
(2)求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

（1）a₁＝1.（2）a_n＝3·2^n－1－2

(1)当n＝1时，T₁＝2S₁－1².因为T₁＝S₁＝a₁，所以a₁＝2a₁－1，解得a₁＝1.
(2)当n≥2时，S_n＝T_n－T_n－1＝2S_n－n²－[2S_n－1－
(n－1)²]＝2S_n－2S_n－1－2n＋1，所以S_n＝2S_n－1＋2n－1，   ①
所以S_n＋1＝2S_n＋2n＋1，②
②－①得a_n＋1＝2a_n＋2.
所以a_n＋1＋2＝2(a_n＋2)，即＝2(n≥2)． (*)
当n＝1时，a₁＋2＝3，a₂＋2＝6，则＝2.
所以，当n＝1时，适合(*)式，所以{a_n＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．
则a_n＋2＝3·2^n－1，所以a_n＝3·2^n－1－2.