Question

椭圆上不同三点与焦点F（4，0）的距离成等差数列．
（1）求证x₁+x₂=8；
（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率．

Answer 1

（1）证明：由椭圆方程知a=5，b=4，c=3．
由圆锥曲线的统一定义知：=，
∴|AF|=a-ex₁=5-x₁．　　同理|CF|=5-x₂．
∵|AF|+|CF|=2|BF|，且|BF|=，
∴（5-x₁）+（5-x₂）=，即x₁+x₂=8．
（2）解：因为线段AC的中点为（4，），所以它的垂直平分线方程为
y-=（x-4）
又∵点T在x轴上，设其坐标为（x₀，0），代入上式x₀-4=，
又∵点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），都在椭圆上，
∴y₂²=（25-x₂²）
∴y₁²-y₂²=-（x₁+x₂）（x₁-x₂）．
将此式代入①，并利用x₁+x₂=8的结论得x0-4=-，K_BT==．
分析：（1）由椭圆方程知a=5，b=4，c=3．由圆锥曲线的统一定义知：=，|AF|=a-ex₁=5-x₁．同理|CF|=5-x₂．由此能够证明即x₁+x₂=8．
（2）因为线段AC的中点为（4，），所以它的垂直平分线方程为y-=（x-4），由点T在x轴上，设其坐标为（x₀，0），代入上式x₀-4=，再由点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），都在椭圆上，知y₂²=（25-x₂²），由此能求出直线的斜率．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．