分析：（1）（Ⅰ）先建立空间直角坐标系，欲证EF∥面A
1C
1B，只需证明EF平行于平面A
1C
1B内的一条直线，利用空间向量证明
与是平行向量，即可证明EF∥A
1C
1，而A
1C
1是平面A
1C
1B内的一条直线，所以EF∥面A
1C
1B．
（Ⅱ）欲求B
1D与平面A
1C
1B所成的角，只需证明DB
1⊥平面BA
1C
1，则B
1D与平面A
1C
1B所成的角为90°，利用空间向量证明
DB
1⊥平面BA
1C
1，先求出
，以及平面A
1C
1B中两个向量
，
，用计算
• ，
•，都等于0，即可证明DB
1⊥平面BA
1C
1，求出B
1D与平面A
1C
1B所成的角的度数．
（2）欲求异面直线EF与GH所成的角，只需求出向量
，的夹角，再结合异面直线所成角的范围判断异面直线EF与GH所成的角应为向量
，夹角的补角．
（3）先求出平面ABC
1D
1的法向量，再求出正方体各面的法向量，平面ABC
1D
1的法向量与正方体各面的法向量所成角即为平面ABC
1D
1与正方体的各个面所成二面角的大小．
解答：解：设正方体棱长为1，如图建立空间直角坐标系
，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A
1（1，0，1），B
1（1，1，1），C
1（0，1，1）
（1）（Ⅰ）∵E（1，
，0），F（
，1，0），∴
=（-
，
，0），
∵
=（-1，1，0），∴
=，∴EF∥A
1C
1，
∵A
1C
1?平面A
1C
1B，∴EF∥面A
1C
1B
（Ⅱ）∵
=（1，1，1），
=（-1，1，0），
=（0，-1，1）
∴
•=-1×1+1×1+1×0=0，
•=-1×1+1×1+1×0=0
∴DB
1⊥A
1C
1，DB
1⊥A
1B，A
1C
1∩A
1B=A
1，
∴DB
1⊥平面BA
1C
1，
∴B
1D与平面A
1C
1B所成的角度数为90°
（2）∵E（1，0，
），F（（1，
，0），G（1，1，
），H（
，1，1）
∴
=（0，
，-
），
=（-
，0，
）
∵cos＜
，＞=
=
=-
∴＜
，＞=120°，异面直线所成的角范围为（0，
）
∴异面直线EF与GH所成的角为60°
（3）∵DA
1⊥AD
1，DA
1⊥AB，
∴DA
1⊥平面ABC
1D
1，
∴平面ABC
1D
1的法向量为
=（1，0，1）
由正方体的性质可知：平面ABCD的法向量为
=（0，0，1）；
平面AD
1的法向量为
=（0，1，0）；平面CD
1的法向量为
=（1，0，0）；
cos＜
，＞=
，cos＜
，＞=0，cos＜
，＞=
，
∴平面ABC
1D
1与正方体的其它各个面所成二面角的大小分别是45°，90°，45°
点评：本题主要考查了在正方体中，线面平行的证明，异面直线所成角，线面角，二面角的计算，考查了学生的空间想象能力，转换能力，识图能力以及计算能力．
优学名师名题系列答案
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
11、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P-ABC的主视图与左视图的面积的比值为
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，
则 （ ）