【题目】已知二次函数的对称轴为,.
(1)求函数的最小值及取得最小值时的值;
(2)试确定的取值范围,使至少有一个实根;
(3)若,存在实数,对任意,使恒成立,求实数的取
值范围.
【答案】(1),此时;(2);(3).
【解析】
试题分析:(1)由,则,利用基本不等式,即可求解函数的最小值及取得最小值时的值;(2)根据二次函数的性质,可得,使得,即可求解的取值范围;(3)由已知对任意,恒成立,∴,令,转化为存在,使成立,分类讨论即可求解实数的取值范围.
试题解析:(1)∵,∴,
∴,当且仅当,即时“”成立,即,此时.
(2)的对称轴为,∴,∴,
至少有一实根,∴至少有一实根,
即与的图象在上至少有一个交点,
,∴,,
∴,∴,∴的取值范围为.
(3) ,∴,
由已知存在实数,对任意,恒成立,
∴,
令,∴
转化为存在,使成立,
令,∴的对称轴为,
①当,即时,
,
∴∴.
②当,即时,,
∴∴∴.
综上,的取值范围为.
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【题目】已知椭圆: ,圆: 的圆心在椭圆上,点到椭圆的右焦点的距离为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点作互相垂直的两条直线,且交椭圆于两点,直线交圆于, 两点,且为的中点,求面积的取值范围.
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【题目】(改编)已知数列满足, , .
(1)若, , ,求实数的取值范围;
(2)设数列满足: , ,设,若, ,求的取值范围;
(3)若成公比的等比数列,且,求正整数的最大值,以及取最大值时相应数列的公比.
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【题目】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
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【题目】已知圆M过两点A(1,﹣1),B(﹣1,1),且圆心M在直线x+y﹣2=0上.
(1)求圆M的方程.
(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PC、PD是圆M的两条切线,C、D为切点,求四边形PCMD面积的最小值.
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【题目】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ | 0 | π | 2π | ||
x | |||||
Asin(ωx+φ) | 0 | 3 | 0 | -3 | 0 |
(1)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)令g(x)=f (x+)-,当x∈[, ]时,恒有不等式g(x)-a-3<0成立,求实数a的取值范围
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【题目】已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到:先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移个单位长度.
(Ⅰ)求函数的解析式,并求其图像的对称轴方程;
(Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解.
(1)求实数m的取值范围;
(2)证明:
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