Question

5．某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子，瓶子是按照统一规格设计的，瓶体上部为半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容积为3π．设圆柱体的底面半径为x，圆柱体的高为h，瓶体的表面积为S．
（1）写出S关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）如何设计瓶子的尺寸（不考虑瓶壁的厚度），可以使表面积S最小，并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）根据体积公式求出h，再根据表面积公式计算即可得到S与x的关系式，
（2）根据导数和函数的最值得关系即可求出．

解答 解：（1）据题意，可知πx²h=3π，得$h=\frac{3}{x^2}$，
$S=\frac{1}{2}•4π{x^2}+π{x^2}+2πx•\frac{3}{x^2}=3π{x^2}+\frac{6π}{x}，（x＞0）$
（2）${S^'}=6πx-\frac{6π}{x^2}$，
令S′=0，得x=±1，舍负，
当S′（x）＞0时，解得x＞1，函数S（x）单调递增，
当S′（x）＜0时，解得0＜x＜1，函数S（x）单调递减，
故当x=1时，函数有极小值，且是最小值，S（1）=9π
答：当圆柱的底面半径为1时，可使表面积S取得最小值9π．

点评 本题考查了导数与函数的最值在实际生活中的应用，属于中档题