Question

【题目】在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为.

（1）求展开式的常数项：

（2）求展开式中所有奇数项的系数和.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据题意，由二项式定理可得，解可得，即可得其展开式的通项，令，解可得，将的值代入通项分析可得答案；

（2）根据题意，设其展开式中奇数项的系数为、、、，偶数项的系数为、、、，进而令可得：，令可得：，联立两式计算可得答案．

解：（1）根据题意，在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，

则，解可得，

则的二项展开式的通项为，

令，解可得，

则有，即其常数项为112；

（2）在的二项展开式中，通项为，

设奇数项的系数为、、、，偶数项的系数为、、、，

在中，令可得：，①

令可得：，②

①②可得：．