Question

【题目】若定义在D上的函数f（x）满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有-M<f（x）<M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界。

（Ⅰ）判断函数f（x）=-2x+2，x∈[0，2]是否是有界函数，请说明理由；

（Ⅱ）若函数f（x）=1++，x∈[0，+∞）是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围。

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2) [-5，1].

【解析】试题分析：（Ⅰ）通过二次函数的性质计算出的范围即可；（Ⅱ）根据有界函数的定义可得对任意，都有，利用分离参数可得在上恒成立求出左端的最大值右端的最小值即可.

试题解析：（Ⅰ）f（x）=。

当0≤x≤2时，1≤f（x）≤2，则-2≤f（x）≤2。

由有界函数定义可知f（x）=-2x+2，x∈[0，2]是有界函数。

（Ⅱ）由题意知对任意x≥0，都有。

所以有，

即在[1，+∞）上恒成立。

设t=，由x≥0，得t≥1。

设h（t）=，p（t）=。

由题可得。

而h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增。（单调性证明略）

h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1。

所以实数a的取值范围为[-5，1]。