Question

已知f（x）=sinx-

3

cosx（x∈[0，2π]），求函数值域，并求取最值时x的取值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：利用三角恒等变换，化简可得f（x）=2sin（x-

π

3

），再由x∈[0，2π]⇒x-

π

3

∈[-

π

3

，

5π

3

]，利用正弦函数的单调性与最值即可求得函数值域并求最大值x的取值．

解答： 解：f（x）=sinx-

3

cosx=2（

1

2

sinx-

3

2

cosx）=2sin（x-

π

3

），
∵x∈[0，2π]，∴x-

π

3

∈[-

π

3

，

5π

3

]），
∴2sin（x-

π

3

）∈[-2，2]，
即函数f（x）=sinx-

3

cosx（x∈[0，2π]）的值域为[-2，2]，
当x-

π

3

=

3π

2

，即x=

11π

6

时，f（x）取得最小值-2；
x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

6

时，f（x）取得最大值2．

点评：本题考查三角函数的最值，着重考查三角恒等变换的应用及正弦函数的单调性与最值，属于中档题．