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设非空集合S={x|m≤x≤n}满足:当x∈S时,有x2∈S,给出如下三个命题:
①若m=1则S={1}; 
②若m=-,则≤n≤1;  
③若n=,则-≤m≤0.
其中正确的命题的个数为( )
A.①
B.①②
C.②③
D.①②③
【答案】分析:由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足:当x∈S时,有x2∈S,当x=n时,n2∈S即n2≤n,解得0≤n≤1,当x=m时,m2∈S即m2≥m,解得m≤0,或m≥1.令m=1,根据m的范围,可判断①的真假;令m=-,由m2=∈S得≤n,结合n的取值范围,可判断②的真假;令n=,根据m2∈S,可得,解不等式组,求出m的范围,可判断③的真假.
解答:解:由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足:当x∈S时,有x2∈S,当x=n时,n2∈S即n2≤n,解得0≤n≤1
当x=m时,m2∈S即m2≥m,解得m≤0,或m≥1
若m=1,由1=m≤n≤1,可得m=n=1,即S={1},故①正确;
②m=-,m2=∈S,即≤n,故≤n≤1,故②正确;
对于③若n=,由m2∈S,可得解得-≤m≤0,故③正确;
故选D
点评:本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法.属于创新题,解答的关键是对新定义的概念的正确理解,列出不等关系转化为不等式问题解决.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设非空集合S={x|m≤x≤n}满足:当x∈S时,有x2∈S.给出如下三个命题:①若m=1,则S={1};②若m=-
1
2
,则
1
4
≤n≤1;③若n=
1
2
,则-
2
2
≤m≤0.其中正确命题的个数是(  )
A、0B、1C、2D、3

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设非空集合S={x|m≤x≤l}满足:当x∈S时,有x2∈S.则下列三个命题中:
①若m=1,则S={1};
②若m=-
1
2
,则
1
4
≤l≤1;
③若l=
1
2
,则-
2
2
≤m≤0

正确命题是
①②③
①②③

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(附加题)
(Ⅰ)设非空集合S={x|m≤x≤l}满足:当x∈S时有x2∈S,给出下列四个结论:
①若m=2,则l=4
②若m=-
1
2
,则
1
4
≤l≤1

③若l=
1
2
,则-
2
2
≤m≤0
④若m=1,则S={1},
其中正确的结论为
②③④
②③④

(Ⅱ)已知函数f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)
,其中a,b∈R.若对于任意的a∈[
1
2
,2]
,f(x)≤10在x∈[
1
4
,1]
上恒成立,则b的取值范围为
(-∞,
7
4
]
(-∞,
7
4
]

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(2013•成都模拟)设非空集合s={x|m≤x≤l}满足:当x∈S时,有y=x2∈S.给出如下三个命题:
①若m=1,则S={1};
②若m=-
1
2
,则
1
4
≤l≤1;
③若l=
1
2
,则-
2
2
≤m≤0.
④若l=1,则-1≤m≤0或m=1.
其中正确命题的是
①②③④
①②③④

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科目:高中数学 来源: 题型:

设非空集合S={x|m≤x≤n}满足:当x∈S时,有x2∈S,给出如下三个命题:
①若m=1则S={1}; 
②若m=-
1
2
,则
1
4
≤n≤1;  
③若n=
1
2
,则-
2
2
≤m≤0.
其中正确的命题的个数为(  )

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