Question

1．若动圆与圆x²+y²+2x=0外切，同时与圆x²+y²-2x-8=0内切．
（1）求动圆圆心的轨迹E的方程；
（2）过点（1，0）且斜率为k（k≠0）的直线l交曲线E于M，N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D，设弦MN的中点为P，试求$\frac{|DP|}{|MN|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作图辅助，从而可得点E的轨迹是以O₁（-1，0），O₂（1，0）为焦点，以4为定长的椭圆；从而写出方程即可．
（2）由题意设直线l的方程为y=k（x-1），与$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1联立消y可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由韦达定理可得x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，从而求得|MN|=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+3}$，|DP|=$\frac{3\sqrt{{k}^{2}（{k}^{2}+1）}}{3+4{k}^{2}}$，从而求$\frac{|DP|}{|MN|}$的取值范围．

解答 解：（1）如右图，O₁（-1，0）是圆x²+y²+2x=0的圆心，
O₂（1，0）是圆x²+y²-2x-8=0的圆心，
∴|EO₁|=1+r，|EO₂|=3-r（r是动圆的半径），
∴|EO₁|+|EO₂|=4，
∴点E的轨迹是以O₁（-1，0），O₂（1，0）为焦点，以4为定长的椭圆，
∴a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$；
∴动圆圆心的轨迹E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠-2）；
（2）由题意设直线l的方程为y=k（x-1），
与$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1联立消y可得，
（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）；
则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴弦MN的中点P（$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{-3k}{3+4{k}^{2}}$），
∴|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）（（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}）}$=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+3}$，
直线PD的方程为y-$\frac{-3k}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$），
∴|DP|=$\frac{3\sqrt{{k}^{2}（{k}^{2}+1）}}{3+4{k}^{2}}$，
∴$\frac{|DP|}{|MN|}$=$\frac{3\sqrt{{k}^{2}（{k}^{2}+1）}}{12（{k}^{2}+1）}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{1-\frac{1}{{k}^{2}+1}}$，
又∵k²+1＞1，
∴0＜$\frac{1}{4}$$\sqrt{1-\frac{1}{{k}^{2}+1}}$＜$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{|DP|}{|MN|}$的取值范围为（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查了轨迹方程的求法及圆锥曲线与直线的综合应用，考查了数形结合的思想应用及化简运算的能力，属于难题．