Question

（2013•蓟县二模）某工厂生产的零件标准分成9个等级，等级系数X依次为1，2，…，9，X≥4为合格标准，且该厂的零件都符合相应的合格标准．从该厂生产的零件中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
4   6   4   4   9   6   6   7   4   5
7   4   5   8   6   4   5   9   6   4
9   4   5   4   5   5   8   6   7   8
规定零件的等级系数X≥8的为一等品，等级系数6≤X＜8的为二等品，等级系数4≤X＜6的为三等品．
（Ⅰ）试分别估计该厂生产的零件一等品频率、二等品频率和三等品频率；
（Ⅱ）从样本的一等品中随机抽取2件，
①列出两件产品等级系数的所有结果；
②求所抽得2件产品等级系数不同的概率．

Answer 1

分析：（I）根据题意，由样本数据可得30件产品中一等品、二等品、三等品的数目，计算可得三个等级各自的其频率，由频率的意义可得答案；
（II）根据题意，由样本数据知样本中一等品有6件，其中等级系数为8和等级系数为9的各有3件，记等级系数为8的3件产品分别为C₁、C₂、C₃，等级系数为9的3件产品分别为P₁、P₂、P₃，可列举从样本的一等品中随机抽取2件的全部情况，可得所抽得2件产品等级系数不同的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．

解答：解：（I）根据题意，由样本数据知，30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件．
∴样本中一等品的频率为

6

30

=0.2，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2，
二等品的频率为

9

30

=0.3，故估计该厂产品的二等品率为0.3，
三等品的频率为

15

30

=0.5，故估计该厂产品的三等品率为0.5．
（II）①根据题意，由样本数据知，样本中一等品有6件，其中等级系数为8的有3件，等级系数为9的也有3件，记等级系数为8的3件产品分别为C₁、C₂、C₃，等级系数为9的3件产品分别为P₁、P₂、P₃，
则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：（C₁，C₂），（C₁，C₃），（C₁，P₁），（C₁，P₂），（C₁，P₃），（C₂，C₃），（C₂，P₁），（C₂，P₂），（C₂，P₃），（C₃，P₁），（C₃，P₂），（C₃，P₃），（P₁，P₂），（P₁，P₃）（P₂，P₃），共15种，
②记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数不同”为事件A，
则A包含的基本事件有
（C₁，P₁），（C₁，P₂），（C₁，P₃），（C₂，P₁），（C₂，P₂），
（C₂，P₃），（C₃，P₁），（C₃，P₂），（C₃，P₃）共9种，
故所求的概率P（A）=

9

15

=0.6．

点评：本题考查等可能事件的概率的计算，关键要正确列举事件的全部情况，做到不重不漏．