Question

在直角坐标系xOy中，动点P与定点F（1，0）的距离和它到定直线x=2的距离之比是，设动点P的轨迹为C₁，Q是动圆（1＜r＜2）上一点．
（1）求动点P的轨迹C₁的方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）设曲线C₁上的三点与点F的距离成等差数列，若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k；
（3）若直线PQ与C₁和动圆C₂均只有一个公共点，求P、Q两点的距离|PQ|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，得，由此能求出动点P的轨迹C₁的方程和轨迹是什么图形．
（2）由已知可得，，，因为2|BF|=|AF|+|CF|，所以x₁+x₂=2，故线段AC的中点为，其垂直平分线方程为，由此能求出直线BT的斜率．
（3）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），直线PQ的方程为y=kx+m，因为P既在椭圆C₁上又在直线PQ上，由此能求出P、Q两点的距离|PQ|的最大值．
解答：解：（1）由已知，得，…（2分）．
将两边平方，并化简得，…（4分）．
故轨迹C₁的方程是，
它是长轴、短轴分别为、2的椭圆…（4分）．
（2）由已知可得，，，
因为2|BF|=|AF|+|CF|，所以=，
即得x₁+x₂=2，①…（5分）．
故线段AC的中点为，
其垂直平分线方程为，②…（6分）．
因为A，C在椭圆上，故有，，
两式相减，得：③
将①代入③，化简得，④…（7分）．
将④代入②，并令y=0得，，
即T的坐标为．…（8分）．
所以．…（9分）．
（3）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
直线PQ的方程为y=kx+m，
因为P既在椭圆C₁上又在直线PQ上，
从而有
∴（2k²+1）x²+4kmx+2（m²-1）=0…（10分）．
由于直线PQ与椭圆C₁相切，故△=（4km）²-4×2（m²-1）（2k²+1）=0
从而可得m²=1+2k²，，
同理，由Q既在圆C₂上又在直线PQ上，可得m²=r²（1+k²），…（12分）
∴，
所以
=
=…（13分）．
即，当且仅当时取等号，
故P、Q两点的距离|PQ|的最大值．…（14分）．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．