分析 (1)由已知求出等差数列的首项和公差,代入等差数列的通项公式和前n项和得答案;
(2)裂项求和和放缩法证明即可.
解答 解:(1)∵a4+a8=22,∴a6=11,
∴a6-a3=3d=11-5=6,∴d=2,∴a1=1,
∴an=2n-1. Sn=$\frac{n(2n-1+1)}{2}$=n2,
(2)∵Sn=n2,
∴当n=1时,$\frac{1}{{S}_{1}}$=1,
当n≥2时,$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$<$\frac{1}{n(n-1)}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$,
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$<1+$\frac{1}{4}$+($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$)+…+($\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$)=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{n}$<$\frac{7}{4}$,
故对一切正整数n,有$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$<$\frac{7}{4}$.
点评 本题考查了等差数列的通项公式,训练了裂项相消法求数列的和,训练了放缩法证明数列不等式,是中档题.
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