【题目】若数列{an}和{bn}的项数均为n,则将 定义为数列{an}和{bn}的距离.
(1)已知 ,bn=2n+1,n∈N* , 求数列{an}和{bn}的距离dn .
(2)记A为满足递推关系 的所有数列{an}的集合,数列{bn}和{cn}为A中的两个元素,且项数均为n.若b1=2,c1=3,数列{bn}和{cn}的距离大于2017,求n的最小值.
(3)若存在常数M>0,对任意的n∈N* , 恒有 则称数列{an}和{bn}的距离是有界的.若{an}与{an+1}的距离是有界的,求证: 与 的距离是有界的.
【答案】
(1)解:数列{an}和{bn}的前n项和分别为2n+1﹣2,n2+2n,
∴dn= =|2n+1﹣2﹣n2﹣2n|,
当n=1,21+1﹣2﹣12﹣2×1=﹣1
当n=2时,22+1﹣2﹣22﹣2×2=﹣2
当n=3时,23+1﹣2﹣32﹣2×3=﹣1
当n=4时,24+1﹣2﹣42﹣2×4=6,
∴dn= =|2n+1﹣2﹣n2﹣2n|=
(2)解:设a1=p,其中p≠0,且p≠±1,由 ,
∴a2= ,a3=﹣ ,a4= ,a5=p,
∴a1=a5,
因此A中数列的项周期性重复,且间隔4项重复一次,
数列{bn}中, ,
数列{cn}中, ,
∵
∴项数n越大,数列{bn}和{cn}的距离越大.
∵ ,
而 = ,|c1﹣b1|=1,|c2﹣b2|=1
因此,当n=3457时, ,当n=3458时, ,
故n的最小值为3458
(3)证明:∵{an}与{an+1}的距离是有界的,
∴存在正数M,对任意的n∈N*,有|an﹣an﹣1|+|an﹣1+an﹣2|+…+|a2﹣a1|≤M,
∵|an|=|an﹣an﹣1+an﹣1+an﹣2+…+a2﹣a1+a1|≤|an﹣an﹣1|+|an﹣1+an﹣2|+…+|a2﹣a1|+|a1|≤|M+|a1|,
记|≤|M+|a1|,则有|an+12﹣an2|=|(an+1﹣an)(an+1+an)|≤|an+1﹣an|(|an+1|+|an|)≤2K|an+1﹣an|,
∴|an+12﹣an2|+|an2﹣an﹣12|+…+|a22﹣a12|≤2KM,
故 与 的距离是有界的
【解析】(1)数列{an}和{bn}的前n项和分别为2n+1﹣2,n2+2n,根据新定义求出即可;(2)由数列的递推公式,即可求得a2 , a3 , a4 , a5 , 求得A中数列的项周期性重复,且间隔4项重复一次,求得数列{bn}和{cn}规律,可知随着项数n越大,数列{bn}和{cn}的距离越大,由 ,根据周期的定义,求得n的最大值;(3)根据新定义结合绝对值不等式,即可证明.
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|
(1)若函数f(x)的值域为[2,+∞),求实数a的值
(2)若f(2﹣a)≥f(2),求实数a的取值范围.
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【题目】如图所示,在三棱锥A﹣BCD中,侧面ABD,ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边且AD= ,BD=CD=1,另一侧面ABC是正三角形.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)若在线段AC上存在一点E,使ED与平面BCD成30°角,试求二面角A﹣BD﹣E的大小.
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【题目】(已知函数f(x)=|2x+1|+|x﹣2|,不等式f(x)≤2的解集为M.
(1)求M;
(2)记集合M的最大元素为m,若正数a,b,c满足abc=m, 求证: .
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【题目】中国“一带一路”战略构思提出后, 某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇, 决定开发生产一款大型电子设备, 生产这种设备的年固定成本为万元, 每生产台,需另投入成本(万元), 当年产量不足台时, (万元); 当年产量不小于台时 (万元), 若每台设备售价为万元, 通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.
(1)求年利润 (万元)关于年产量(台)的函数关系式;
(2)年产量为多少台时 ,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大?
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【题目】据统计,截至2016年底全国微信注册用户数量已经突破9.27亿,为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量,现从某市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查,结果如下:
微信群数量(个) | 频数 | 频率 |
0~4 | 0.15 | |
5~8 | 40 | 0.4 |
9~12 | 25 | |
13~16 | a | c |
16以上 | 5 | b |
合计 | 100 | 1 |
(Ⅰ)求a,b,c的值及样本中微信群个数超过12的概率;
(Ⅱ)若从这100位同学中随机抽取2人,求这2人中恰有1人微信群个数超过12的概率;
(Ⅲ)以(1)中的频率作为概率,若从全市大学生中随机抽取3人,记X表示抽到的是微信群个数超过12的人数,求X的分布列和数学期望E(X).
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【题目】已知D= ,给出下列四个命题:
P1:(x,y)∈D,x+y+1≥0;
P2:(x,y)∈D,2x﹣y+2≤0;
P3:(x,y)∈D, ≤﹣4;
P4:(x,y)∈D,x2+y2≤2.
其中真命题的是( )
A.P1 , P2
B.P2 , P3
C.P2 , P4
D.P3 , P4
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【题目】
(2015·新课标Ⅱ)设函数f‘(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(-1)=0,当x0时,xf'(x)-f(x)0,则使得f(x)0成立的x的取值范围是()
A.(-,-1)(0,1)
B.(-1,0)(1,+)
C.(-,-1)(-1,0)
D.(0,1)(1,+)
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