如图,在三棱锥中,
,
,
,设顶点A在底面
上的射影为R.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)设点在棱
上,且
,试求二面角
的余弦值.
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
解析试题分析:(Ⅰ)借助几何体的中线面垂直,证明BCDE为正方形,达到证明线线垂直的目的;(Ⅱ)方法一利用定义法做出二面角,通过解三角形求解二面角的平面角;方法二建立利用空间向量法,通过两个半平面的法向量借助夹角公式求解.
试题解析:证明:方法一:由平面
,得
,
又,则
平面
,
故, 3分
同理可得,则
为矩形,
又,则
为正方形,故
. 5分
方法二:由已知可得,设
为
的中点,则
,则
平面
,故平面
平面
,则顶点
在底面
上的射影
必在
,故
.
(Ⅱ)方法一:由(I)的证明过程知平面
,过
作
,垂足为
,则易证得
,故
即为二面角
的平面角, 8分
由已知可得,则
,故
,则
,
又,则
, 10分
故,即二面角
的余弦值为
12分
方法二: 由(I)的证明过程知为正方形,如图建立坐标系,
则,
,
,可得
, 8分
则,
,易知平面
的一个法向量为,设平面
的一个法向量为
,则由
得
10分
则,即二面角
的余弦值为
. 12分
考点:1.垂直关系的证明;2.二面角;3.空间向量.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,且AB∥EF,矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直,已知AB=2,AD=EF=1.
(Ⅰ)设FC的中点为M,求证:OM∥平面DAF;
(Ⅱ)设平面CBF将几何体EF-ABCD分割成的两个锥体的体积分别为VF-ABCD、VF-CBE,求VF-ABCD:VF-CBE的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示的几何体ABCDFE中,△ABC,△DFE都是等边三角形,且所在平面平行,四边形BCED是边长为2的正方形,且所在平面垂直于平面ABC.
(Ⅰ)求几何体ABCDFE的体积;
(Ⅱ)证明:平面ADE∥平面BCF;
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图1,四棱锥中,
底面
,面
是直角梯形,
为侧棱
上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示.
(Ⅰ)证明:平面
;
(Ⅱ)证明:∥平面
;
(Ⅲ)线段上是否存在点
,使
与
所成角的余弦值为
?若存在,找到所有符合要求的点
,并求
的长;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,直三棱柱的侧棱长为3,
,且
,
、
分别是棱
、
上的动点,且
(1)证明:无论在何处,总有
;
(2)当三棱柱.的体积取得最大值时,求异面直线
与
所成角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形,其对角线AC=2,BD=,AE、CF都与平面ABCD垂直,AE=1,CF=2.
(I)求二面角B-AF-D的大小;
(II)求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在四棱锥ABCD-PGFE中,底面ABCD是直角梯形,侧棱垂直于底面,AB//DC,∠ABC=45o,DC=1,AB=2,PA=1.
(Ⅰ)求PD与BC所成角的大小;
(Ⅱ)求证:BC⊥平面PAC;
(Ⅲ)求二面角A-PC-D的大小.
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