Question

选做题（请考生在以下三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
（1）（不等式选讲）已知函数f（x）=log₂（|x-1|+|x-5|-a），当函数f（x）的定义域为R时，则实数a的取值范围为

（-∞，4）

（2）（几何证明选讲）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB，垂足为D，且AD=5DB，设∠COD=θ，则tanθ的值为

5

2

．

（3）（坐标系与参数方程）圆O₁和圆O₂的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为

y=x+2

．

Answer 1

分析：（1）原问题?a＜（|x-1|+|x-5|）_min，通过分类讨论求出其最小值即可；
（2）利用圆的性质、射影定理及正切函数的定义即可得出；
（3）利用极坐标与直角坐标的互化公式、圆的标准方程及点斜式即可得出．

解答：解：（1）∵函数f（x）的定义域为R，∴|x-1|+|x-5|-a＞0对于x∈R恒成立，
而|x-1|+|x-5|-a＞0对于x∈R恒成立?a＜（|x-1|+|x-5|）_min．
令g（x）=|x-1|+|x-5|=

2x-6，当x＞5时 4，当1≤x≤5时 -2x+6，当x＜1时

，可知g（x）_min=4，∴a＜4．
（2）连接AC，BC，∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又∵CD⊥AB，∴CD²=AD×DB，
∵AD=5DB，∴CD²=5DB²，∴CD=

5

DB．
∵r=

AD+DB

2

=3DB，∴OD=r-DB=2DB．
在Rt△OCD中，tanθ=

CD

OD

=

5 DB

2DB

=

5

2

．
（3）圆O₁的极坐标方程ρ=4cosθ可以化为ρ²=4ρcosθ，∴x²+y²=4x，∴（x-2）²+y²=4，∴圆心O₁（2，0）；
圆O₂的极坐标方程ρ=-4sinθ可化为ρ²=4ρsinθ，∴x²+y²=4y，配方得x²+（y-2）²=4，∴圆心O₂（0，2）．
∴经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为 y=

0-2

2-0

x+2，即y=x+2．
故答案分别为（-∞，4），

5

2

，y=x+2．

点评：把问题正确等价转化，熟练掌握分类讨论的方法、圆的性质、射影定理及正切函数的定义、极坐标与直角坐标的互化公式、圆的标准方程及点斜式是解题的关键．