Question

函数在同一个周期内，当时y取最大值1，当时，y取最小值-1．
（1）求函数的解析式y=f（x）．
（2）函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f（x）的图象？
（3）若函数f（x）满足方程f（x）=a（0＜a＜1），求在[0，2π]内的所有实数根之和．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过同一个周期内，当时y取最大值1，当时，y取最小值-1．求出函数的周期，利用最值求出φ，即可求函数的解析式y=f（x）．
（2）函数y=sinx的图象经过左右平移，然后是横坐标变伸缩变换，纵坐标不变，可得到y=f（x）的图象，确定函数解析式．（3）确定函数在[0，2π]内的周期的个数，利用f（x）=a（0＜a＜1）与函数的对称轴的关系，求出所有实数根之和．
解答：解：（1）∵，
∴ω=3，
又因，
∴，又，得
∴函数；

（2）y=sinx的图象向右平移个单位得的图象，
再由图象上所有点的横坐标变为原来的．纵坐标不变，得到的图象，
（3）∵的周期为，
∴在[0，2π]内恰有3个周期，
∴在[0，2π]内有6个实根且
同理，，
故所有实数之和为．
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象，考查数形结合的思想，考查计算能力，是中档题．