Question

2．函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4在区间[1，3]上的最大最小值为（　　）

• A． 4，-$\frac{4}{3}$
• B． 4，1
• C． $\frac{1}{3}$，-$\frac{4}{3}$
• D． 1，-$\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 f′（x）=x²-4=（x-2）（x+2），x∈[1，3]．分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出函数的单调性极值与最值．

解答 解：f′（x）=x²-4=（x-2）（x+2），x∈[1，3]．
令f′（x）＞0，解得2＜x≤3，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得1≤x＜2，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=2时，函数f（x）取得极小值，也是最小值，f（2）=$\frac{8}{3}-4×2$+4=-$\frac{4}{3}$．
又f（1）=$\frac{1}{3}$，f（3）=1，
∴函数f（x）的最大值为1．
因此函数f（x）在区间[1，3]上的最大最小值分别为1，-$\frac{4}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究闭区间上的函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．