Question

【题目】已知中心在坐标原点的椭圆C经过点A（2，3），且点F （2，0）为其右焦点．
（1）求椭圆C的方程和离心率e；
（2）若平行于OA的直线l与椭圆有公共点，求直线l在y轴上的截距的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由椭圆的焦点在x轴上，c=2，设椭圆方程为 ，

代入点A（2，3），

解得：a2=16，则b2=12，离心率e= =

∴椭圆方程为 ，离心率

（2）

解：设直线l的方程y= x+b，

则 ，整理得：3x2+3bx+b2﹣12=0，

由△=（3b）2﹣12（b2﹣12）≥0，解得：﹣4 ≤b≤4 ，

直线l在y轴上的截距的取值范围[﹣4 ，4 ]

【解析】（1）由题意c=2，设椭圆方程，将A代入椭圆方程，即可求得a的值，即可求得椭圆方程及离心率；（2）设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理△≥0，即可求得b的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．