Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB，D是AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求证：平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁；
（3）求二面角A-A₁B-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用线面平行的判定定理，证明线面平行，利用三角形中位线的性质，证明线线平行即可；
（2）证明面面垂直，只需证明线面垂直，利用线面垂直的判定证明线面垂直；
（3）法一：作出二面角A-A₁B-D的平面角，利用余弦定理即可求解；
法二：建立空间直角坐标系，求出平面A₁BD的法向量、平面AA₁B的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．

解答：（1）证明：连AB₁交A₁B于点E，连DE，则E是AB₁的中点，
∵D是AC的中点，∴DE∥B₁C
∵DE?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，∴B₁C∥平面A₁BD；
（2）证明：∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱
∴AA₁⊥平面ABC，∴AA₁⊥BD，
∵AB=BC，D是AC的中点，∴AC⊥BD
∵AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵BD?平面A₁BD，∴平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁；
 
（3）法一：设AA₁=2a，∵AA₁=AB，∴AE⊥BA₁，且AE=

2

a，
作AF⊥A₁D，连EF
∵平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁，∴AF⊥平面A₁BD，∴EF⊥BA₁
∴∠AEF就是二面角A-A₁B-D的平面角，
在△A₁AD中，AF=

2

5

a，
在△AEF中，EF=

AE2-AF2

=

2a2- 4 5 a2

=

6

5

a
∴cos∠AEF=

EF

AE

=

6 5 a

2 a

=

15

5

，即二面角A-A₁B-D的余弦值是

15

5

．…（12分）
解法二：如图，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B(0，

3

a，0)，A（-a，0，0），A₁（-a，0，2a）

∴

AA1

=(0，0，2a)，

AB

=(a，

3

a，0)，

DA1

=(-a，0，2a)，

DB

=(0，

3

a，0)
设平面A₁BD的法向量是

m

=(x，y，z)，则
由

m • DA1 =-x+2z=0 m • DB = 3 y=0

，取

m

=(2，0，1)
设平面AA₁B的法向量是

n

=(x，y，z)，则
由

n • AB =x+ 3 y=0 n • AA1 =2z=0

，取

n

=(

3

，-1，0)
记二面角A-A₁B-D的大小是θ，则|cosθ|=|

m • n

| m || n |

|=

2 3

2 5

=

15

5

，
即二面角A-A₁B-D的余弦值是

15

5

．…（12分）

点评：本题考查线面平行，考查面面垂直，考查面面角，考查利用向量知识解决空间角问题，正确运用线面平行、面面垂直的判定定理是关键．