Question

已知f(x)=x³-2x²+cx+4，g(x)=e^x-e^2-x+f(x)，
(1)若f(x)在x=1+处取得极值，试求c的值和f(x)的单调增区间；
(2)如下图所示，若函数y=f(x)的图象在[a，b]上连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在c∈(a，b)使得f′(c)=？[用含有a，b，f(a)，f(b)的表达方式直接回答，不需要写猜想过程]
(3)利用(2)证明：函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4。

Answer 1

解：(1)，依题意有，
即=-2，
∴，
令f′(x)＞0，得或，
从而f(x)的单调增区间为或。
(2)；
(3)由已知，
所以，
=2e-4，
由(2)知，对于函数y=g(x)图象上任意两点A，B，
在A，B之间一定存在一点C(c，g(c))，使得，
又g′(x)≥2e-4，故有，证毕。