【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA=AD=AB=2BC=2,过AD的平面分别交PB,PC于M,N两点.
(1)求证:MN∥BC;
(2)若M,N分别为PB,PC的中点,
①求证:PB⊥DN;
②求二面角P-DN-A的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)见解析,
【解析】
(1)先证明BC∥平面ADNM,再证明MN∥BC.(2)①先证明PB⊥平面ADNM,再证明PB⊥DN. ②以A为坐标原点,直线AB为x轴,直线AD为y轴,直线AP为z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,利用向量法求二面角P-DN-A的余弦值.
(1)证明因为底面ABCD为直角梯形,所以BC∥AD.
因为BC平面ADNM,AD平面ADNM,
所以BC∥平面ADNM.
因为BC平面PBC,平面PBC∩平面ADNM=MN,所以MN∥BC.
(2)①证明因为M,N分别为PB,PC的中点,PA=AB,所以PB⊥MA.
因为∠BAD=90°,所以DA⊥AB.
因为PA⊥底面ABCD,所以DA⊥PA.
因为PA∩AB=A,所以DA⊥平面PAB.
所以PB⊥DA.
因为AM∩DA=A,所以PB⊥平面ADNM.
因为DN平面ADNM,所以PB⊥DN.
②如图,以A为坐标原点,直线AB为x轴,直线AD为y轴,直线AP为z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
由①知,PB⊥平面ADNM,所以平面ADNM的法向量为=(-2,0,2).
设平面PDN的法向量为n=(x,y,z),
因为=(2,1,-2),=(0,2,-2),
所以
令z=2,则y=2,x=1.
所以n=(1,2,2),
所以cos<n,>=.
所以二面角P-DN-A的余弦值为.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=,D是棱AC的中点,且AB=BC=BB1=2.
(1)求证:AB1∥平面BC1D;
(2)求异面直线AB1与BC1所成的角.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上.过点E作EF∥BC交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合),使得∠PEB=60°.
(1)求证:EF⊥PB.
(2)试问:当点E在线段AB上移动时,二面角PFCB的平面角的余弦值是否为定值?若是,求出其定值;若不是,说明理由.
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【题目】如下图所示,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成的角为60°.
(1)求证:AC⊥平面BDE;
(2)求二面角F-BE-D的余弦值;
(3)设点M是线段BD上一个动点,试确定点M的位置,使得AM∥平面BEF,并证明你的结论.
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【题目】下列关于概率和统计的几种说法:
①10名工人某天生产同一种零件,生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则a,b,c的大小关系为c>a>b;
②样本4,2,1,0,-2的标准差是2;
③在面积为S的△ABC内任选一点P,则随机事件“△PBC的面积小于”的概率为;
④从写有0,1,2,…,9的十张卡片中,有放回地每次抽一张,连抽两次,则两张卡片上的数字各不相同的概率是.
其中正确说法的序号有________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , 离心率为 ,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1 , 过点F2作直线PF2的垂线l2 .
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)若直线l1 , l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.
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【题目】(本小题满分14分)
如图1,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D为侧棱PC上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示.
(1) 证明:AD⊥平面PBC;
(2) 在∠ACB的平分线上确定一点Q,使得PQ∥平面ABD,并求此时PQ的长.
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【题目】命题p:关于x的方程x2+ax+2=0无实根,命题q:函数f(x)=logax在(0,+∞)上单调递增,若“p∧q”为假命题,“p∨q”真命题,求实数a的取值范围
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