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求证:端点分别在两条异面直线a和b上的动线段AB的中点共面.

答案:
解析:

证明:如图,设异面直线a、b的公垂线段是PQ,PQ的中点是M,过M作平面α,使PQ⊥平面α,且和AB交于R,连结AQ,交平面α于N.连结MN、NR.∵PQ⊥平面α,MNα,∴PQ⊥MN.在平面APQ内,PQ⊥a,PQ⊥MN,∴MN∥a,a∥α,又∵PM=MQ,∴AN=NQ,同理可证NR∥b,RA=RB.即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.


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如图,已知ab是两条相互垂直的异面直线,其公垂线段AB的长为定值m,定长为n(nm)的线段PQ的两个端点分别在ab上移动,MN分别是ABPQ的中点.

(1)求证:ABMN

(2)求证:MN的长是定值

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