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已知函数数学公式是自然数)是奇函数,f(x)有最大值数学公式,且数学公式,试求函数f(x)的解析式.

解:由f(x)为奇函数得f(-x)+f(x)=0,即+=0,
∴c=0.
又a>0,b是自然数,
∴当x<0时,f(x)<0,
当x>0时,f(x)>0,
故f(x)的最大值必在x>0时取得;
当x>0时,f(x)==
当且仅当ax=,即x=时取得=,即a=b2
又f(1)>

∴2b2-5b+2<0,即(2b-1)(b-2)<0,
<b<2 又a>0,b是自然数可得a=b=1,
∴f(x)=
分析:由f(x)为奇函数可知f(-x)+f(x)=0,求得c=0; 依题意可知f(x)的最大值必在x>0时取得,利用基本不等式可求得f(x)≤=,于是a=b2,最后由f(1)>,即可求得<b<2 又a>0,b是自然数可得a=b=1.
点评:本题考查函数奇偶性的性质,考查基本不等式的应用,由基本不等式结合题意得到a=b2是关键,考查分析、转化与运算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x
1-a
3
的定义域是非零实数,且在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数,则最小的自然数a等于(  )
A、0B、1C、2D、3

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科目:高中数学 来源: 题型:

(1991•云南)已知函数f(x)=
2x-1
2x+1

(Ⅰ)证明:f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(Ⅱ)证明:对于任意不小于3的自然数n,都有f(n)>
n
n+1

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年江苏省高三下学期质量检测数学试卷 题型:解答题

已知函数,其中e是自然数的底数,

(1)当时,解不等式

(2)当时,求整数k的所有值,使方程在[k,k+1]上有解;

(3)若在[-1,1]上是单调增函数,求的取值范围.

 

 

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科目:高中数学 来源:2010-2011学年广西南宁二中高三10月月考理科数学卷 题型:解答题

已知函数是自然数对数的底数)

   (1)求的最小值;

   (2)不等式的解集为P,若,求实数的取值范围。

 

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