分析 根据函数f(x)为奇函数,建立方程关系即可求出b,然后根据分式函数和对数函数的单调性建立条件关系即可求出a.
解答 解:∵函数f(x)=loga$\frac{1-x}{b+x}$(0<a<1)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
即f(-x)+f(x)=0,
∴loga$\frac{1-x}{b+x}$+loga$\frac{1+x}{b-x}$=loga$\frac{1-x}{b+x}$•$\frac{1+x}{b-x}$=0,
即$\frac{1-x}{b+x}$•$\frac{1+x}{b-x}$=1,
∴1-x2=b2-x2,
即b2=1,解得b=±1.
当b=-1时,函数f(x)=loga$\frac{1-x}{b+x}$=f(x)=loga$\frac{1-x}{-1+x}$=loga(-1)无意义,舍去.
当b=1时,函数f(x)=loga$\frac{1-x}{b+x}$=loga$\frac{1-x}{1+x}$为奇函数,满足条件.
∵$\frac{1-x}{1+x}$=-1+$\frac{2}{1+x}$,在(-1,+∞)上单调递减.
又0<a<1,
∴函数f(x)=loga$\frac{1-x}{1+x}$在x∈(-1,a)上单调递增,
∵当x∈(-1,a)时,函数f(x)的值域是(-∞,1),
∴f(a)=1,
即f(a)=loga$\frac{1-a}{1+a}$=1,
∴$\frac{1-a}{1+a}$=a,
即1-a=a+a2,
∴a2+2a-1=0,
解得a=-1±$\sqrt{2}$,
∵0<a<1,
∴a=-1+$\sqrt{2}$,
∴a+b=-1+$\sqrt{2}$+1=$\sqrt{2}$,
故答案为:$\sqrt{2}$.
点评 本题主要考查函数奇偶性的性质的应用,以及复合函数的单调性的应用,考查函数性质的综合应用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2$\sqrt{2}$ | B. | $\frac{7\sqrt{2}}{3}$ | C. | $\sqrt{11}$ | D. | 2$\sqrt{3}$ |
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A. | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | B. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | C. | $\sqrt{2}-1$ | D. | $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ |
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A. | 若m⊥n,n∥α,则m⊥α | B. | 若m∥α,n∥β,则m∥n | C. | 若α∥β,m?α,则m∥β | D. | 若m∥α,α⊥β,则m⊥α |
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A. | $y={log_{\frac{1}{2}}}x$ | B. | $y=\frac{1}{x}$ | C. | y=-tanx | D. | y=-x3 |
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A. | $A_5^4$ | B. | 54 | C. | 45 | D. | 4×5 |
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