Question

（普通班做） 设函数f（x）=lnx+x²+ax．若f（x）在其定义域内为增函数，则a的取值范围为    ．

Answer 1

【答案】分析：f（x）在其定义域内为增函数可转化成只需在（0，+∞）内有2x²+ax+1≥0恒成立，建立不等关系，解之即可．
解答：解：f（x）的定义域为（0，+∞）．
方程2x²+ax+1=0的判别式△=a²-8，
①当△≤0，即-2 ≤a≤2 时，2x²+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，此时f（x）为增函数．
②当△＞0，即 a＜-2 或 a＞2 时，
要使f（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，
只需在（0，+∞）内有2x²+ax+1≥0即可，
设h（x）=2x²+ax+1，
由  得a＞0，所以 a＞2 ．
由①②可知，若f（x）在其定义域内为增函数，a的取值范围是[-2 ，+∞）．
故答案为：[-2，+∞）．
点评：本题以函数为载体，主要考查了利用导数研究函数的单调性和不等式的证明，属于中档题．