Question

已知函数f（x）=

ax (x＞1) (4- a 2 )x+2 (x≤1)

对任意x₁，x₂∈R（x₁≠x₂），恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0
，则实数a的取值范围为（　　）

• A、（1，+∞）
• B、[4，8）
• C、（4，8）
• D、（1，8）

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意，函数f（x）=

ax (x＞1) (4- a 2 )x+2 (x≤1)

在定义域R上是增函数，故可得到

a＞1 4- a 2 ＞0 4- a 2 +2≤a

，解出即可．

解答： 解：∵对任意x₁，x₂∈R（x₁≠x₂），恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，
∴函数f（x）=

ax (x＞1) (4- a 2 )x+2 (x≤1)

在定义域R上是增函数，
∴

a＞1 4- a 2 ＞0 4- a 2 +2≤a

，
解得，4≤a＜8，
故选B．

点评：本题考查了函数的单调性的判断及分段函数的单调性的应用，属于中档题．