Question

（1）|

a

|=3，|

b

|=4，且（

a

+2

b

）•（

a

-3

b

）=-93，求向量

a

与

b

的夹角＜

a

，

b

＞；
（2）设向量

OA

=（-1，-2），

OB

=（1，4），

OC

=（2，-4），在向量

OC

上是否存在点P，使得

PA

⊥

PB

，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：向量表示错误：请给修改，谢谢．
（1）由（

a

+2

b

）•（

a

-3

b

）=-93，可得

a

2-

a

•

b

-6

b

2=9-3×4×cos＜

a

，

b

＞-6×16=-93，解得cos＜

a

，

b

＞=

1

2

，可得＜

a

，

b

＞的值．
（2）假设在向量

OC

上存在点P（2x，-4x），使得

PA

⊥

PB

，则由

PA

•

PB

=0，解得x的值，从而得出结论．

解答：解：（1）∵|

a

|=3，|

b

|=4，且（

a

+2

b

）•（

a

-3

b

）=-93，∴

a

2-

a

•

b

-6

b

2=9-3×4×cos＜

a

，

b

＞-6×16=-93，
解得cos＜

a

，

b

＞=

1

2

，再根据cos＜

a

b

＞∈[0°，180°]，∴＜

a

，

b

＞=60°．
（2）假设在向量

OC

上存在点P（2x，-4x），使得

PA

⊥

PB

，则由

PA

=（-1-x，-2+4x），

PB

=（1-2x 4+4x）．
 而且

PA

•

PB

=（-1-x）（1-2x）+（-2+4x）（4+4x）=0，解得x=

1

2

，或x=-

9

10

（舍去）．
故存在点P（1，-2）满足条件．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．