Question

函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
①已知f（x）是单调减函数，求不等式f（1-a）+f（1-a²）＜0的解；
②已知f（x）在区间[0，1）上是减函数，证明：f（x）是单调减函数．

Answer 1

分析：①先利用奇偶性化简成f（1-a）＜f（a²-1），再利用单调性建立不等关系，根据定义域的范围建立两个不等关系，解不等式组即可．
②设-1＜x₁＜x₂＜1，只需证明f（x₁）＞f（x₂）．将x₁，x₂的取值分类求证．

解答：解：①f（1-a）＜-f（1-a²）
∴f（1-a）＜f（-1+a²）
∴1＞1-a＞-1+a²＞-1即0＜a＜1                                
②设-1＜x₁＜x₂＜1，只需证明f（x₁）＞f（x₂）
i当0≤x₁＜x₂＜0时，显然有f（x₁）＞f（x₂）成立；            
ii当-1＜x₁＜x₂≤0时，有1＞-x₁＞-x₂≥0
∴f（-x₁）＜?（-x₂）∴-f（x₁）＜-f（x₂）
即：f（x₁）＞f（x₂）成立；                                      
iii当-1＜x₁＜0＜x₂＜1时，有f（x₁）＞f（0）且?（0）＞f（x₂）
即：f（x₁）＞f（x₂）成立；
综上，当-1＜x₁＜x₂＜1时，总有：f（0）＞f（x₂）
即：f（x）是单调减函数．

点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及单调性的应用，这两个性质是函数的重要性质．利用函数的奇偶性与单调性解抽象不等式．应先将抽象不等式转化为具体不等式．