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【题目】已知抛物线C,点x轴的正半轴上,过点M的直线l与抛线C相交于AB两点,O为坐标原点.

,且直线l的斜率为1,求证:以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切;

是否存在定点M,使得不论直线l绕点M如何转动,恒为定值?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)见证明;(2)见解析

【解析】

写出直线AB方程为,与抛物线方程联立,利用韦达定理与弦长公式计算值,并求出线段AB的中点到准线的距离,证明该距离等于的一半,即可证明结论成立;设直线AB的方程为,并设点,列出韦达定理,结合弦长公式得出的表达式,根据表达式为定值得出m的值,从而可求出定点M的坐标.

时,且直线l的斜率为1时,直线l的方程为,设点

将直线l的方程代入抛物线C的方程,消去y得,

由韦达定理可得

由弦长公式可得

线段AB的中点的横坐标为3,所以,线段AB的中点到抛物线准线的距离为4,

因此,以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切;

设直线l的方程为,设点

将直线l的方程代入抛物线方程并化简得

由韦达定理可得

,同理可得

所以,为定值,

所以,,即时,恒为定值

此时,定点M的坐标为

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5

7

7

7

3

2

8

3

4

5

3

9

1

A.甲组选手得分的平均数小于乙组选手得分的平均数.

B.甲组选手得分的中位数大于乙组选手得分的平均数.

C.甲组选手得分的中位数等于乙组选手得分的中位数.

D.甲组选手得分的方差大于乙组选手得分的方差.

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