Question

（2007•长宁区一模）在直角坐标系xoy中，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦距为10，一条渐近线的倾斜角为arctan

3

4

．
（1）求双曲线方程及渐近线的方程；
（2）设P为双曲线的右顶点，过P作一条渐近线的平行线交另一条渐近线于M点，求△OPM的面积S；
（3）当P在双曲线上运动时，试研究△OPM的面积的变化情况．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：c=5，

b

a

=

3

4

，再结合a²+b²=c²，可得a=4，b=3，即可求出双曲线的方程与渐近线的方程；                                    
（2）由（1）可得：P（4，0），结合题意即可写出过点P并且与一条渐近线平行的直线方程，进而求出点M的纵坐标，即可求出三角形的面积；
（3）设P（x₀，y₀），过P点作两渐近线的平行线交两条渐近线于M，N．则S△OPM=

1

2

SMONP，过点P作平行四边形MONP两条边上的高d₁，d₂，设两条渐近线的夹角为α，则ON=PM=

d1

sinα

，利用求平行四边形面积的公式表达出面积，再结合P（x₀，y₀）在双曲线上，即可得出结论为：S_△OPM为定值3．

解答：解：（1）由题意可得：c=5，

b

a

=

3

4

，
∵a²+b²=c²，
∴a=4，b=3，
所以双曲线方程为

x2

16

-

y2

9

=1．          
渐近线方程为y=±

3

4

x；                                      
（2）由（1）可得：P（4，0），过P点平行于一条渐近线的直线方程为y=-

3

4

(x-4)，
由

y=- 3 4 (x-4) y= 3 4 x

，解得y=

3

2

．
∴S△OPM=

1

2

×4×

3

2

=3．
∴△OPM的面积S为3；                               
（3）设P（x₀，y₀），过P点做两渐近线的平行线交两条渐近线于M，N．
则S△OPM=

1

2

SMONP，过点P作平行四边形MONP两条边上的高d₁，d₂，
设两条渐近线的夹角为α，则ON=PM=

d1

sinα

，
∴SMONP=

d1

sinα

•d2=

1

sinα

•

|3x0+4y0|

5

•

|3x0-4y0|

5

=

1

sinα

•

|9x02-16y02|

25

，
∵P（x₀，y₀）在双曲线上，
∴9x₀²-16y₀²=9×16=144，
∵tan

α

2

=

3

4

，
∴sinα=

24

25

．
∴S△OPM=

1

2

•

25

24

•

144

25

=3．
∴当P在双曲线上运动时，△OPM的面积不变，为定值3．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单几何性质，考查了数学转化思想方法，关键在于借助于P的坐标．解此类面积的题目时，要注意使用整体运算的方法，以简化计算．该题属高考试题中的压轴题．