Question

从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图所示．

（1）根据直方图求x的值，并估计该小区100户居民的月均用电量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）从该小区已抽取的100户居民中，随机抽取月用电量超过250度的3户，参加节约用电知识普及讲座，其中恰有ξ户月用电量超过300度，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）由已知得50×（0.0012+0.0024×2+0.0036+x+0.0060）=1，由此能求出x，由频率分布直方图能求出该小区100户居民的月均用电量．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及期望．

解答： （1）解：由已知得50×（0.0012+0.0024×2+0.0036+x+0.0060）=1，
解得x=0.0044…（2分）
设该小区100户居民的月均用电量为S，
则S=0.0024×50×75+0.0036×50×125+0.0060×50×175+0.0044×50×225+0.0024×50×275+0.0012×50×325=9+22.5+52.5+49.5+33+19.5=186…（6分）
（2）该小区用电量在（250，300]的用户数为0.0024×50×100=12，
用电量在（300，350]的用户数为0.0012×50×100=6，
由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，
ξ=0时，p(ξ=0)=

C 3 12

C 3 18

=

55

204

，
ξ=1时，p(ξ=1)=

C 2 12 × C 1 6

C 3 18

=

33

68

，
ξ=2时，p(ξ=2)=

C 1 12 × C 2 6

C 3 18

=

15

68

，
ξ=3时，p(ξ=3)=

C 3 6

C 3 18

=

5

204

…（10分）
所以ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
p	55 204	33 68	15 68	5 204

E（ξ）=0×p（ξ=0）+1×p（ξ=1）+2×p（ξ=2）+3×p（ξ=3）=1．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．