Question

【题目】已知 Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n﹣4．
（1）求a1的值；
（2）若bn=an﹣1，试证明数列{bn}为等比数列；
（3）求数列{an}的通项公式，并证明： + +…+ ＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=2an+n﹣4，

∴a1=S1=2a1+1﹣4，即a1=3

（2）证明：∵Sn=2an+n﹣4，

∴当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1+n﹣5，

两式相减得：an=2an﹣2an﹣1+1，即an=2an﹣1，

变形，得：an﹣1=2（an﹣1﹣1），

由（1）可知b1=a1﹣1=2，

故数列{bn}是首项、公比均为2的等比数列

（3）证明：由（2）可知an=2n+1，

∵ = ＜ ，

∴ + +…+ ＜ + +…+ = ＜1

【解析】（1）直接令n=1代入计算即可；（2）通过Sn=2an+n﹣4与Sn﹣1=2an﹣1+n﹣5作差、变形可知an=2an﹣1，进而整理即得结论；（3）通过（2）放缩可知 ＜ ，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等比关系的确定(等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断)．