Question

16．如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD=$\sqrt{3}$．
（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）若∠CBA=60°，求直线AF与平面BEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）作EO⊥BC，交BC于O，推导出四边形EODF是平行四边形，由此能证明EF∥平面ABCD．
（2）以O为原点，OB为x轴，OA为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面BEF所成角的正弦值．

解答 证明：（1）∵菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，
∴作EO⊥BC，交BC于O，且EO=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
∵FD⊥平面ABCD，且FD=$\sqrt{3}$，
∴FD$\underset{∥}{=}$EO，∴四边形EODF是平行四边形，
∴EF∥DO，
∵EF?平面ABCD，OD?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
解：（2）∵∠CBA=60°，∴OA⊥OB，
以O为原点，OB为x轴，OA为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，$\sqrt{3}$，0），B（1，0，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），F（-2，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{AF}$=（-2，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BE}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BF}$=（-3，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
设平面BEF所成角为θ，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=-3x+\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，2，1），
设直线AF与平面BEF所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{7}×\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{42}}{28}$．
∴直线AF与平面BEF所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{42}}{28}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．