Question

17£®ÒÑÖªºá×ø±êΪ$\sqrt{t}$µÄµãPÔÚÇúÏßC£ºy=$\frac{1}{x}$£¨x£¾1£©£¬ÇúÏßCÔÚµãP´¦µÄÇÐÏßy-$\frac{1}{\sqrt{t}}$=$-\frac{1}{t}$£¨x-$\sqrt{t}$£©ÓëÖ±Ïßy=4x½»ÓÚA£¬ÓëxÖá½»ÓÚµãB£®ÉèµãA£¬BµÄºá×ø±ê·Ö±ðΪx_A£¬x_B£¬¼Çf£¨t£©=x_A•x_B£¬ÕýÊýÊýÁÐ{a_n}Âú×ãa_n=f£¨a_n-1£©£¨n¡ÊN^*£¬n¡Ý2£©£¬a₁=a£®
£¨1£©Ð´³öa_n£¬a_n-1Ö®¼äµÄ¹Øϵʽ£®
£¨2£©ÈôÊýÁÐ{a_n}ΪµÝ¼õÊýÁУ¬ÇóʵÊýaµÄÈ¡Öµ·¶Î§£»
£¨3£©Èôa=2£¬b_n=a_n$-\frac{3}{4}$£¬ÉèÊýÁÐ{b_n}µÄÇ°nÏîºÍΪS_n£¬ÇóÖ¤£ºS_n£¼$\frac{3}{2}$£¨n¡ÊN^*£©

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©¸ù¾ÝÌâÒ⣬ÁªÁ¢Çó½â£¬Çó³öf£¨t£©=x_A•x_B=$\frac{4t}{4t+1}$£¬µÃ³ö½á¹û£»
£¨2£©ÓÉ$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{4{a}_{n-1}}$£¬¹¹Ôì$\frac{1}{{a}_{n}}$+x=$\frac{1}{4}$£¨$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+x£©£¬µÃ³öÊýÁÐ{$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{4}{3}$}Ϊq=$\frac{1}{4}$µÄµÈ±ÈÊýÁУ¬Ê×ÏîΪ$\frac{1}{a}$-$\frac{4}{3}$
£¬´Ó¶øµÃ³öaµÄ·¶Î§£»
£¨3£©¸ù¾ÝÌâÒâÇó³öb_n=$\frac{15}{4£¨8•{4}^{n}-5£©}$£¬ÀûÓ÷ÅËõ·¨µÃ³öb_n£¾$\frac{15}{2•{4}^{n+2}}$=$\frac{15}{32}•£¨\frac{1}{4}£©^{n}$£¬×îºóµÃ³ö½áÂÛ£®

½â´ð ½â£º£¨1£©¡ßy-$\frac{1}{\sqrt{t}}$=$-\frac{1}{t}$£¨x-$\sqrt{t}$£©Óëy=4xÏཻ
¡àx_A=$\frac{2\sqrt{t}}{4t+1}$£¬
Áîy=0µÃx_B=2$\sqrt{t}$£¬$\frac{1}{a}$
¡àf£¨t£©=x_A•x_B=$\frac{4t}{4t+1}$
¡àa_n=f£¨a_n-1£©=$\frac{4{a}_{n-1}}{4{a}_{n-1}+1}$£»
£¨2£©
¡ßa_n=$\frac{4{a}_{n-1}}{4{a}_{n-1}+1}$£¬
¡à$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{4{a}_{n-1}}$
Éè$\frac{1}{{a}_{n}}$+x=$\frac{1}{4}$£¨$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+x£©£¬
¡à$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{4{a}_{n-1}}$-$\frac{3}{4}x$£¬
¡àx=$-\frac{4}{3}$£¬
¡àÊýÁÐ{$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{4}{3}$}Ϊq=$\frac{1}{4}$µÄµÈ±ÈÊýÁУ¬Ê×ÏîΪ$\frac{1}{a}$-$\frac{4}{3}$
¡àʹÊýÁÐ{a_n}ΪµÝ¼õÊýÁУ¬ÇÒΪÕýÊýÊýÁÐ{a_n}
¡à$\frac{1}{a}$-$\frac{4}{3}$£¾0£¬
¡à0£¼a£¼$\frac{3}{4}$£»
£¨3£©ÓÉ£¨2£©ÖªÊýÁÐ{$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{4}{3}$}Ϊq=$\frac{1}{4}$µÄµÈ±ÈÊýÁУ¬Ê×ÏîΪ-$\frac{5}{6}$£¬
¡à$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{4}{3}$=-$\frac{5}{6}$¡Á£¨$\frac{1}{4}$£©^n-1
¡àa_n=$\frac{6¡Á{4}^{n-1}}{8¡Á{4}^{n}-20}$£¬
¡àb_n=$\frac{15}{8¡Á{4}^{n}-20}$£¬
¡ßb_n£¾$\frac{15}{8¡Á{4}^{n}}$=$\frac{15}{8}$¡Á$\frac{1}{{4}^{n}}$£¬
${{s}_{n}}^{¡ä}$=$\frac{15}{8}$¡Á$\frac{1-\frac{1}{{4}^{n}}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{4}¡Á\frac{1}{{4}^{n}}$£¼$\frac{3}{2}$£¬
¡à${S}_{n£¼}\frac{3}{2}$£®

µãÆÀ ¿¼²éÁ˺¯ÊýºÍÊýÁеÄ×ÛºÏÓ¦ÓúͷÅËõ·¨µÄÓ¦Óã¬ÄѶȽϴó£®