Question

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：
①f（x）=2x；②f（x）=x²+1；③f(x)=sin(x+

π

4

)；④f（x）是定义在实数集R的奇函数，且对一切x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．
其中是“倍约束函数”的是

 

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：本题考查阅读题意的能力，根据“倍约束函数”，的定义进行判定：对①f（x）=2x，易知存在K=2符合题意；对于②可以利用绝对值的性质将不等式变形为|x|≤m；对③特值即可解答；对于④，通过取x₂=0，如此可得到正确结论．

解答：解：∵对任意x∈D，存在正数K，都有|f（x）|≤K|x|成立∴对任意x∈D，存在正数K，都有 K≥

|f(x)|

|x|

成立
∴对①f（x）=2x，易知存在K=2符合题意；
对于②，显然不存在M都有|x|≤M成立，故B错；
对于③，当x→o时

|f(x)|

|x|

→+∞，故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立；
对于④，当x=0，因|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到|f（x）|≤2|x|成立，这样的M存在，故正确；
故答案为：①④．

点评：本题属于开放式题，题型新颖，考查数学的阅读理解能力．知识点方面主要考查了函数的最值及其几何意义，考生需要有较强的分析问题解决问题的能力，对选支逐个加以分析变形，利用函数、不等式的进行检验，方可得出正确结论．