Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），点Q是椭圆外的动点，满足|

F1Q

|=2a，点P是线段F₁Q与该椭圆的交点
（1）若点P的横坐标为

a

2

，证明：|

F1P

|=a+

c

2

（2）若存在点Q，使得△F₁QF₂的面积等于b²，求椭圆离心率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）确定椭圆的左准线方程，利用椭圆的定义，可得

| F1P |

| a 2 + a2 c |

=

c

a

，从而可得结论；
（2）确定Q的轨迹方程，利用存在点Q，使得△F₁QF₂的面积等于b²，确定Q的纵坐标，即可求椭圆离心率的取值范围．

解答：（1）证明：椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左准线方程为x=-

a2

c

∵点P的横坐标为

a

2

，
∴由椭圆的定义可知，

| F1P |

| a 2 + a2 c |

=

c

a

，
∴|

F1P

|=a+

c

2

；
（2）解：设Q（x，y），则
∵|

F1Q

|=2a，∴（x+c）²+y²=4a²
∴|y|≤2a
∵存在点Q，使得△F₁QF₂的面积等于b²，
∴

1

2

•2c•|y|=b2
∴|y|=

b2

c

∴

b2

c

≤2a
∴e²+2e-1≥0
∴e≥

2

-1或e≤-

2

-1
∵0＜e＜1
∴

2

-1≤e＜1．

点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．