【题目】如图:已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形,PA⊥面ABCD,M是AD的中点,N是PC的中点.
(1)求证:MN∥面PAB;
(2)若平面PMC⊥面PAD,求证:CM⊥AD.
【答案】(1)详见解析(2)详见解析
【解析】
试题分析:(1)取BC中点E,连结ME、NE,由已知推导出平面PAB∥平面MNE,由此能证明MN∥平面PAB.
(2)利用面面垂直的性质,由平面PMC⊥平面PAD,平面ABCD⊥平面PAD,可证CM⊥平面PAD,由AD平面PAD,即可证明CM⊥AD
试题解析:(1)取PB的中点E,连接EA,EN,
在△PBC中,EN//BC且,
又,AD//BC,AD=BC
所以EN//AM,,EN=AM.
所以四边形ENMA是平行四边形,
所以MN//AE. 又,,
所以MN//平面PAB.
(2)过点A作PM的垂线,垂足为H,
因为平面PMC⊥平面PAD,平面PMC∩平面PAD=PM,AH⊥PM,
所以AH⊥平面PMC,又
所以AH⊥CM.
因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CM.
因为PA∩AH=A,
所以CM⊥平面PAD.
又所以CM⊥AD.
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【题目】如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,有以下四个命题:①平面ADNE;②平面ABFE;③平面平面AFN;④平面平面NCF.其中正确命题的序号是( )
A.②③B.①②③C.②③④D.①②③④
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【题目】如图是一种加热食物的太阳灶,上面装有可旋转的抛物面形的反光镜,镜的轴截面是抛物线的一部分,盛食物的容器放在抛物线的焦点处,容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为8m,镜深1m.
(1)建立适当的坐标系,求抛物线的方程和焦点的位置;
(2)若把盛水和食物的容器近似地看作点,试求每根铁筋的长度.
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【题目】已知正项数列的前n项和为,对于任意的,都有.
(1)求,;
(2)求数列的通项公式;
(3)令问是否存在正数m,使得对一切正整数n都成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】在某中学举行的物理知识竞赛中,将三个年级参赛学生的成绩在进行整理后分成5组,绘制出如图所示的须率分布直方图,图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组.已知第三小组的频数是15.
(1)求成绩在50-70分的频率是多少
(2)求这三个年级参赛学生的总人数是多少:
(3)求成绩在80-100分的学生人数是多少
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【题目】设、为平面向量,若存在不全为零的实数λ,μ使得λμ0,则称、线性相关,下面的命题中,、、均为已知平面M上的向量.
①若2,则、线性相关;
②若、为非零向量,且⊥,则、线性相关;
③若、线性相关,、线性相关,则、线性相关;
④向量、线性相关的充要条件是、共线.
上述命题中正确的是 (写出所有正确命题的编号)
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【题目】已知抛物线的焦点为曲线的一个焦点, 为坐标原点,点为抛物线上任意一点,过点作轴的平行线交抛物线的准线于,直线交抛物线于点.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)若、、三个点满足,求直线的方程.
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【题目】树立和践行“绿水青山就是金山银山,坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心,已形成了全民自觉参与,造福百姓的良性循环.据此,某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查,调查数据表明,环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点,参与调查者中关注此问题的约占.现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人,并将这200人按年龄分组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求出的值;
(2)求这200人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位);
(3)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人,再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查,求这2组恰好抽到2人的概率.
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