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    已知函数fn(x)=
    ln(x+n)-n
    x+n
    +
    1
    n(n+1)
    （其中n为常数，n∈N*），将函数fn（x）的最大值记为an，由an构成的数列{an}的前n项和记为Sn．
    （Ⅰ）求Sn；
    （Ⅱ）若对任意的n∈N*，总存在x∈R+使
    x
    ex-1
    +a=an    ，求a的取值范围；
    （Ⅲ）比较
    1
    en+1+e•n
    +fn(en)    与an的大小，并加以证明．
    分析：（Ⅰ）fn′(x)=
    -ln(x+n)+n+1
    (x+n)2
    ，令fn′（x）＞0，则x＜en+1-n．所以fn（x）在（-n，en+1-n）上递增，在（en+1-n，+∞）上递减．由此能求出Sn．
    （Ⅱ）由n≥1，知en+1递增，n（n+1）递增，an=
    1
    en+1
    +
    1
    n(n+1)
    递减．所以an∈(0，
    1
    e2
    +
    1
    2
    ]    ，令g(x)=
    x
    ex-1
    +a    ，则g′(x)=
    1-x
    ex-1
    ，故g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．由此入手能够求出a的取值范围．
    （Ⅲ）作差相减
    1
    en+1+e•n
    +fn(en)-an    ，得
    1
    en+1+e•n
    +
    ln(en+n)-n
    en+n
    +
    1
    n(n+1)
    -
    1
    en+1
    -
    1
    n(n+1)
    ，整理为
    1
    en+n
    (
    1
    e
    +ln
    en+n
    en
    -
    1
    e
    en+n
    en
    )    ，令t=
    en+n
    en
    ，能够推导出
    1
    en+1+e•n
    +fn(en)＞an    ．
    解答：解：（Ⅰ）fn′(x)=
    -ln(x+n)+n+1
    (x+n)2
    ，（2分）
    令fn′（x）＞0，则x＜en+1-n．
    ∴fn（x）在（-n，en+1-n）上递增，在（en+1-n，+∞）上递减．（4分）
    ∴当x=en+1-n时，fn(x)max=fn(en+1-n)=
    1
    en+1
    +
    1
    n(n+1)
    （5分）
    即an=
    1
    en+1
    +
    1
    n(n+1)
    ，
    则Sn=
    en-1
    en+2-en+1
    +
    n
    n+1
    ．（6分）
    （Ⅱ）∵n≥1，∴en+1递增，n（n+1）递增，
    ∴an=
    1
    en+1
    +
    1
    n(n+1)
    递减．
    ∴0＜an≤a1=
    1
    e2
    +
    1
    2
    ，
    即an∈(0，
    1
    e2
    +
    1
    2
    ]    （8分）
    令g(x)=
    x
    ex-1
    +a    ，则g′(x)=
    1-x
    ex-1
    ，
    ∴g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．
    当x→0时，
    x
    ex-1
    →0    ；
    当x→+∞时，
    x
    ex-1
    ＞0    ；
    又g（1）=1+a，
    ∴g（x）∈（a，1+a]（10分）
    由已知得，（a，1+a]?(0，
    1
    e2
    +
    1
    2
    ]    ，
    ∴
    a≤0
    1
    e2
    +
    1
    2
    ≤1+a
    ∴
    1
    e2
    -
    1
    2
    ≤a≤0    （11分）
    （Ⅲ）
    1
    en+1+e•n
    +fn(en)-an
    =
    1
    en+1+e•n
    +
    ln(en+n)-n
    en+n
    +
    1
    n(n+1)
    -
    1
    en+1
    -
    1
    n(n+1)

    =
    1
    e(en+n)
    +
    1
    en+n
    ln
    en+n
    en
    -
    1
    en+1

    =
    1
    en+n
    (
    1
    e
    +ln
    en+n
    en
    -
    1
    e
    en+n
    en
    )    （12分）
    令t=
    en+n
    en
    ，
    ∵g(x)=
    ex+x
    ex
    (x≥1)，g′(x)=
    1-x
    ex
    ≤0∴g(x)    在[1，+∞）上递减．
    ∴1＜g(x)≤1+
    1
    e
    ，
    即t∈(1，1+
    1
    e
    ]    （13分）
    又r(t)=
    1
    e
    +lnt-
    1
    e
    t，r′(t)=
    1
    t
    -
    1
    e
    ＞0∴r(t)＞r(1)=0    （14分）
    ∴
    1
    en+n
    (
    1
    e
    +ln
    en+n
    en
    -
    1
    e
    en+n
    en
    )＞0
    ∴
    1
    en+1+e•n
    +fn(en)＞an    （15分）
    点评：本题考查导数在函数最值中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意培养运算能力，注意作差法的合理运用．
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    已知函数fn(x)=(1+
    1
    n
    )x    （n∈N*）．
    （Ⅰ）比较fn′（0）与
    1
    n
    的大小；
    （Ⅱ）求证：
    f1′(1)
    2
    +
    f2′(2)
    3
    +
    f3′(3)
    4
    +…+
    fn′(n)
    n+1
    ＜3    ．

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    已知函数fn(x)=x2+x+
    12
    的定义域是[n，n+1]（n是自然数），那么f1（x）的值域中共有
    4
    4
    个整数；fn（x）的值域中共有
    2n+2
    2n+2
    个整数．

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    （2011•合肥三模）已知函数fn(x)=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    (n+1)x2+x(n∈N*)    ，数列{an}满足an+1=f'n（an），a1=3．
    （1）求a2，a3，a4；
    （2）根据猜想数列{an}的通项公式，并证明；
    （3）求证：
    1
    (2a1-5)2
    +
    1
    (2a2-5)2
    +…+
    1
    (2an-5)2
    ＜
    3
    2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数fn(x)＝(1＋x)n－1，（n∈N*，且n＞1）．

    (Ⅰ) 设函数，求的最大值和最小值

    (Ⅱ) 若求证：fn(x)≥nx.

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