Question

建造一个容积为8m³，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元．
（Ⅰ）写出建造水池的总造价y元关于底的一边长x米的函数解析式y=f（x），并求定义域．
（Ⅱ）当底边长为多少米时总造价最低？最低总造价为多少元？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）依题意，底面一边长xm，另一边长为

4

x

m，利用池底和池壁的造价分别为120元/m²和80元/m²可求得函数解析式y=f（x）及x的取值范围；
（2）利用基本不等式即可给出总造价最低的设计方案．

解答： 解：（1）∵无盖长方体的深为2m，底面一边长xm，容积为8m³，
∴另一边长为

4

x

m，
∴S_侧=（2x+2×

4

x

）×2=（4x+

16

x

）（m²），S_底=4（m²），
∵池底和池壁的造价分别为120元/m²和80元/m²，
∴总造价y=80×（4x+

16

x

）+120×4=320（x+

4

x

）+480（元）（x＞0）．
（2）∵y=320（x+

4

x

）+480≥1280+480=1760（元）．（当且仅当x=2时取“=”）．
故该长方体的水池长、宽、高均相等，为2m时总造价最低，最低总造价为1760元．

点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式，考查分析与解答的能力，属于中档题．