Question

【题目】f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：①f（x）=3﹣ 不可能是k型函数； ②若函数y=﹣ x2+x是3型函数，则m=﹣4，n=0；
③设函数f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为 ；
④若函数y= （a≠0）是1型函数，则n﹣m的最大值为 ．
下列选项正确的是（ ）
A.①③
B.②③
C.②④
D.①④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：对于①，f（x）的定义域是{x|x≠0}，且f（2）=3﹣ =1，f（4）=3﹣ =2， ∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，f（x）是 型函数，
∴①错误；
对于②，y=﹣ x2+x是3型函数，即﹣ x2+x=3x，解得x=0，或x=﹣4，∴m=﹣4，n=0，
∴②正确；
对于③，f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则x3+2x2+x=kx有二不等负实数根，
即x2+2x+（1﹣k）=0有二不等负实数根，
∴ ，解得0＜k＜1，
∴③错误；
对于④，y= （a≠0）是1型函数，即（a2+a）x﹣1=a2x2 ， ∴a2x2﹣（a2+a）x+1=0，
∴方程的两根之差x1﹣x2= = =
= ≤ ，即n﹣m的最大值为 ，∴④正确．
综上，正确的命题是②④．
故选：C．
根据题目中的新定义，结合函数与方程的知识，逐一判定命题①②③④是否正确，从而确定正确的答案．