Question

1£®ÒÑÖªÊýÁÐ{a_n}µÄÇ°nÏîºÍΪS_n£¬ÏòÁ¿$\overrightarrow{a}$=£¨2^n-1£¬1£©£¬$\overrightarrow{b}$£¨2ⁿ⁺¹£¬-1-S_n£©n¡ÊN^*£¬Èô$\overrightarrow{a}¡Í\overrightarrow{b}$£¬ÔòÊýÁÐ{$\frac{{a}_{n}}{£¨{a}_{n}-2£©£¨{a}_{n+1}-2£©}$}µÄÇ°10ÏîºÍT₁₀=$\frac{1}{3}£¨\frac{1}{4}-\frac{1}{3¡Á{4}^{11}-8}£©$£®

Answer 1

·ÖÎö ÓÉ$\overrightarrow{a}¡Í\overrightarrow{b}$£¬¿ÉµÃ$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0£¬¿ÉµÃS_n=4ⁿ-1£®ÀûÓõÝÍƹØϵ¿ÉµÃ£ºa_n=3¡Á4^n-1£®ÓÚÊÇ$\frac{{a}_{n}}{£¨{a}_{n}-2£©£¨{a}_{n+1}-2£©}$=$\frac{3¡Á{4}^{n-1}}{£¨3¡Á{4}^{n-1}-2£©£¨3¡Á{4}^{n}-2£©}$=$\frac{1}{3}£¨\frac{1}{3¡Á{4}^{n}-8}-\frac{1}{3¡Á{4}^{n+1}-8}£©$£®ÀûÓá°ÁÑÏîÇóºÍ¡±¼´¿ÉµÃ³ö£®

½â´ð ½â£º¡ß$\overrightarrow{a}¡Í\overrightarrow{b}$£¬¡à$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2²ⁿ-1-S_n=0£¬
¡àS_n=4ⁿ-1£®
¡àµ±n=1ʱ£¬a₁=S₁=3£»
µ±n¡Ý2ʱ£¬a_n=S_n-S_n-1=£¨4ⁿ-1£©-£¨4^n-1-1£©=3¡Á4^n-1£®
µ±n=1ʱÉÏʽҲ³ÉÁ¢£¬
¡àa_n=3¡Á4^n-1£®
¡à$\frac{{a}_{n}}{£¨{a}_{n}-2£©£¨{a}_{n+1}-2£©}$=$\frac{3¡Á{4}^{n-1}}{£¨3¡Á{4}^{n-1}-2£©£¨3¡Á{4}^{n}-2£©}$=$\frac{1}{3}£¨\frac{1}{3¡Á{4}^{n}-8}-\frac{1}{3¡Á{4}^{n+1}-8}£©$£®
¡àÊýÁÐ{$\frac{{a}_{n}}{£¨{a}_{n}-2£©£¨{a}_{n+1}-2£©}$}µÄÇ°nÏîºÍT_n=$\frac{1}{3}[£¨\frac{1}{3¡Á4-8}-\frac{1}{3¡Á{4}^{2}-8}£©$+$£¨\frac{1}{3¡Á{4}^{2}-8}-\frac{1}{3¡Á{4}^{3}-8}£©$+¡­+$£¨\frac{1}{3¡Á{4}^{n}-8}-\frac{1}{3¡Á{4}^{n+1}-8}£©]$
=$\frac{1}{3}£¨\frac{1}{4}-\frac{1}{3¡Á{4}^{n+1}-8}£©$£®
¡àT₁₀=$\frac{1}{3}£¨\frac{1}{4}-\frac{1}{3¡Á{4}^{11}-8}£©$£®
¹Ê´ð°¸Îª£º$\frac{1}{3}£¨\frac{1}{4}-\frac{1}{3¡Á{4}^{11}-8}£©$£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÁ˵ÝÍƹØϵµÄÓ¦Óᢡ°ÁÑÏîÇóºÍ¡±£¬¿¼²éÁËÍÆÀíÄÜÁ¦Óë¼ÆËãÄÜÁ¦£¬ÊôÓÚÖеµÌ⣮