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精英家教网如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是等腰梯形,其中AB=1米,高0.5米,CD=2a(a>
12
)米.上部CmD是个半圆,固定点E为CD的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆.
(1)设MN与AB之间的距离为x米,试将三角通风窗EMN的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数S=f(x);
(2)当MN与AB之间的距离为多少米时,三角通风窗EMN的通风面积最大?并求出这个最大面积.
分析:(1)如图当通风窗在CD下方时,即0≤x<
1
2
时,由平面几何知识,得
MN-1
2a-1
=
x
1
2
,可得MN=2(2a-1)x+1,再由三角形面积公式建立面积模型.当通风窗在CD的上方时,即
1
2
<x<a+
1
2
时,则MN=2
a2-(x-
1
2
)
2
,再由三角形面积公式建立面积模型.,
(2)根据分段函数,分别求得每段上的最大值,最后取它们当中最大的,即为原函数的最大值,并明确取值的状态,从而得到实际问题的建设方案.
解答:解:(1)当0≤x<
1
2
时,由平面几何知识,得
MN-1
2a-1
=
x
1
2

∴MN=2(2a-1)x+1,
∴S=f(x)=-(2a-1)x2+(a-1)x+
1
4
.(3分)
1
2
<x<a+
1
2
时,S=f(x)=
1
2
•2
a2-(x-
1
2
)
2
•(x-
1
2
)

=
a2-(x-
1
2
)
2
•(x-
1
2
)

S=f(x)=
-(2a-1)x2+(a-1)x+
1
4
 x∈ [0
1
2
)
a2-(x-
1
2
)
2
•(x-
1
2
),x∈(
1
2
,a+
1
2
).
(5分)
(2)当0≤x<
1
2
时,S=f(x)=-(2a-1)x2+(a-1)x+
1
4

a>
1
2

a-1
2(2a-1)
-
1
2
=
-a
2(2a-1)
<0

a-1
2(2a-1)
1
2

1
2
<a≤1
,当x=0时,[f(x)]max=f(0)=
1
4

②a>1,当x=
a-1
2(2a-1)
时,[f(x)]max=f[
a-1
2(2a-1)
]=
a2
4(2a-1)
.(7分)
1
2
<x<a+
1
2
时,S=f(x)=
1
2
•2
a2-(x-
1
2
)
2
•(x-
1
2
)

=
a2-(x-
1
2
)
2
•(x-
1
2
)
=
(x-
1
2
)
2
[a2-(x-
1
2
)
2
]
(x-
1
2
)
2
+[a2-(x-
1
2
)
2
]
2
=
1
2
a2

等号成立?(x-
1
2
)2=a2-(x-
1
2
)2
?x=
1
2
(
2
a+1)∈(
1
2
,a+
1
2
)

当x=
1
2
(
2
a+1)
时,[f(x)]max=
a2
2
.(10分)
1
2
<a≤1
时,∵
a2
2
-
1
4
=
1
2
(a+
2
2
)(a-
2
2
)

1
2
<a≤
2
2
时.当x=0,[f(x)]max=f(0)=
1
4
2
2
<a≤1
时,
x=
1
2
(
2
a+1)
[f(x)]max=
a2
2
.(12分)
a>1时,
1
2
a2-
a2
4(2a-1)
=
4a-3
4(2a-1)
a2>0

x=
1
2
(
2
a+1)
时,[f(x)]max=
a2
2

综上,
1
2
<a≤
2
2
时,当x=0时,[f(x)]max=f(0)=
1
4

即MN与AB之间的距离为0米时,三角通风窗EMN的通风面积最大,最大面积为
1
4
平方米.a>
2
2
时,
x=
1
2
(
2
a+1)
时,[f(x)]max=
a2
2
,即MN与AB之间的距离为x=
1
2
(
2
a+1)
米时,
三角通风窗EMN的通风面积最大,最大面积为
1
2
a2
平方米.(16分)
点评:本题主要考查函数模型的建立与应用,主要涉及了平面图形中的相似比,三角形面积公式,分段函数求最值以及二次函数法,基本不等式法,作差法等解题方法.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•普陀区二模)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=0.5米.上部CmD是个半圆,固定点E为CD的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆(MN和AB、DC不重合).
(1)当MN和AB之间的距离为1米时,求此时三角通风窗EMN的通风面积;
(2)设MN与AB之间的距离为x米,试将三角通风窗EMN的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数S=f(x);
(3)当MN与AB之间的距离为多少米时,三角通风窗EMN的通风面积最大?并求出这个最大面积.

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(2013•静安区一模)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米;上部CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆.
(1)设MN与AB之间的距离为x米,试将△EMN的面积S(平方米)表示成关于x的函数;
(2)求△EMN的面积S(平方米)的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•静安区一模)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是正方形,其中AB=2米;上部CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆.
(1)设MN与AB之间的距离为x米,试将△EMN的面积S(平方米)表示成关于x的函数;
(2)求△EMN的面积S(平方米)的最大值.

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年上海华师大一附中高三第二学期开学检测试题数学 题型:解答题

(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.

如图所示的自动通风设施.该设施的下部是等腰梯形,其中米,梯形的高为米,米,上部是个半圆,固定点的中点.△是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆.

(1)设之间的距离为米,试将三角通风窗的通风面积(平方米)表示成关于的函数

(2)当之间的距离为多少米时,三角通风窗的通风面积最大?并求出这个最大面积。

 

 

 

 

 

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