Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，且对于任意x₁，x₂∈R，存在正实数L，使得|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|都成立．
（1）若f(x)=

1+x2

，求L的取值范围；
（2）当0＜L＜1时，数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），n=1，2，…．
①证明：

n

k=1

|ak-ak+1|≤

1

1-L

|a1-a2|；
②令Ak=

a1+a2+…ak

k

(k=1，2，3，…)，证明：

n

k=1

|Ak-Ak+1|≤

1

1-L

|a1-a2|．

Answer 1

分析：（1）由|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|，可得

|x1-x2|•|x1+x2|

1+ x 2 1 + 1+ x 2 2

≤L|x₁-x₂|，从而当x₁≠x₂时，得L≥

|x1+x2|

1+ x 2 1 + 1+ x 2 2

，进而有L≥1，当x₁=x₂时，|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|恒成立，故问题得解；
（2）①由于a_n+1=f（a_n），n=1，2，…，所以当n≥2时，|a_n-a_n+1|=|f（a_n-1）-f（a_n）|≤L|a_n-1-a_n|=L|f（a_n-2）-f（a_n-1）|≤L²|a_n-2-a_n-1|≤…≤L^n-1|a₁-a₂|，从而

n

k=1

|ak-ak+1|=|a1-a2|+|a2-a3|+|a3-a4|+…+|an-an+1|≤（1+L+L²+…+L^n-1）|a₁-a₂|=

1-Ln

1-L

|a1-a2|．所以问题可证
②由A_k=

a1+a2+…ak

k

，表达出|Ak-Ak+1|=|

a1+a2+…+ak

k

-

a1+a2+…+ak+1

k+1

|
=

1

k(k+1)

|(a1-a2)+2(a2-a3)+3(a3-a4)+…+k(ak-ak+1)|，再利用①的结论可解．

解答：解：（1）证明：对任意x₁，x₂∈R，有
|f(x1)-f(x2)|=|

1+ x 2 1

-

1+ x 2 2

|=|

x 2 1 - x 2 2

1+ x 2 1 + 1+ x 2 2

|=

|x1-x2|•|x1+x2|

1+ x 2 1 + 1+ x 2 2

．…2分
由|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|，即

|x1-x2|•|x1+x2|

1+ x 2 1 + 1+ x 2 2

≤L|x₁-x₂|．
当x₁≠x₂时，得L≥

|x1+x2|

1+ x 2 1 + 1+ x 2 2

．
∵

1+ x 2 1

＞|x1|，

1+ x 2 2

＞|x2|，且|x₁|+|x₂|≥|x₁+x₂|，
∴

|x1+x2|

1+ x 2 1 + 1+ x 2 2

＜

|x1+x2|

|x1|+|x2|

≤1．…4分
∴要使|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|对任意x₁，x₂∈R都成立，只要L≥1．
当x₁=x₂时，|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|恒成立．
∴L的取值范围是[1，+∞）．…5分
（2）证明：①∵a_n+1=f（a_n），n=1，2，…，
故当n≥2时，|a_n-a_n+1|=|f（a_n-1）-f（a_n）|≤L|a_n-1-a_n|=L|f（a_n-2）-f（a_n-1）|≤L²|a_n-2-a_n-1|≤…≤L^n-1|a₁-a₂|
∴

n

k=1

|ak-ak+1|=|a1-a2|+|a2-a3|+|a3-a4|+…+|an-an+1|≤（1+L+L²+…+L^n-1）|a₁-a₂|…7分
=

1-Ln

1-L

|a1-a2|．
∵0＜L＜1，∴

n

k=1

|ak-ak+1|≤

1

1-L

|a1-a2|（当n=1时，不等式也成立）．…9分
②∵A_k=

a1+a2+…ak

k

，
∴|Ak-Ak+1|=|

a1+a2+…+ak

k

-

a1+a2+…+ak+1

k+1

|
=|

1

k(k+1)

(a1+a2+…+ak-kak+1)|
=

1

k(k+1)

|(a1-a2)+2(a2-a3)+3(a3-a4)+…+k(ak-ak+1)|
≤

1

k(k+1)

(|a1-a2|+2|a2-a3|+3|a3-a4|+…+k|ak-ak+1|)． …11分
∴

n

k=1

|Ak-Ak+1|=|A1-A2|+|A2-A3|+…+|An-An+1|
≤|a1-a2|(

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

)+2|a2-a3|(

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

)
+3|a3-a4|(

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

n(n+1)

)+…+n|an-an+1|×

1

n(n+1)

=|a1-a2|(1-

1

n+1

)+|a2-a3|(1-

2

n+1

)+…+|an-an+1|(1-

n

n+1

)
≤|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…+|a_n-a_n+1|≤

1

1-L

|a1-a2|．…14分

点评：本小题主要考查函数、数列求和、绝对值不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识